Sea \(f=2x^{6901}+3x^{6623}-x^{6467}-2x^{6168}+x^{4751}+x^{3805}+x^{3152}+x^{3027}+2x^4+5\)
Sea \(g=x^6+x^5+3x^4+3x^3+x^2+x+1\)
Hallar el resto de dividir f por g
Llegue a estoNotar que las raices de g son las raices primitivas de la unidad de orden 7.Ademas por el teorema del resto \(f = g*q+r\) donde \(gr(r) \le 5\)
como \(g(w)=0\) para todo w raiz septima primitiva de la unidad.
Sea \(r=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+h\)
Luego \(f(w_i) = r(w_i)\hspace{1cm} 1\le i \le6\)
Entonces \(2w_i^{6901}+3w_i^{6623}-w_i^{6467}-2w_i^{6168}+w_i^{4751}+w_i^{3805}+w_i^{3152}+w_i^{3027}+2w_i^4+5=aw_i^5+bw_i^4+cw_i^3+dw_i^2+ew_i+h\)
Usando que w es raiz septima primitiva llegamos a
Lo del parentesis es cero pues es la suma geometrica de una raiz septima.Entonces
Luego \(a=d=e=0\hspace{3cm}b=c=2\hspace{3cm}h=4\)
Finalmente \(r=2x^4+2x^3+4\)
Es correcto o flashe?