Mañana rindo final y tengo un par de dudas con algunos ejercicios que no se cómo seguir... y no encuentro a nadie en la facu que rinda mañana tampoco 😮 . Si alguien me puede dar una mano, aunque sea un consejo de por dónde seguir, me vendría muy bien.
Sea \(f(x)\in{R}[x]\) un polinomio mónico de grado 7 tal que:
· \(f(0)=0\) y \(f(i)=-3i\);
· \(f'(0)=0\) y \(f'(i)=-21\);
Hallar las raíces no reales del polinomio \(f(x)-3x^7\) y su multiplicidad. Hallar todas las posibles factorizaciones de \(f(x)-3x^7\) en \({C}[x]\).
Sea \(p\) un primo impar:
Sea \(a\in{Z},a\neq +-1\). Probar que \(a^{(p-1)(p^n)}-1 | a^{(p-1)p^{n+1}}-1\) para todo \(n\in{N_0}\) y hallar el cociente.
Determinar todos los pares \((n,m)\in[{N}x{N}]\) tales que \(2^n\equiv8^m(10)\).
Llegué a lo siguiente en cada caso:
Llamo \(g(x)=f(x)-3x^7\) y \(g'(x)=f'(x)-21x^6\)
Luego \(g(0)=f(0)-3(0)^7=0\) y \(g'(0)=f'(0)-21(0)^6=0\) entonces \(0\) es raíz doble de g.
Después \(g(i)=f(i)-3i^7=0\) y \(g'(i) = f'(i) - 21i^6 = 0\) entonces \(i\) es raíz doble de g.
Además como \(g(x)\in{R}\), si tiene raíces complejas, su conjugado es raíz. Entonces puedo escribir a \(g(x)\) como:
\(g(x)=X^2(X-i)^2(X+i)^2H(X)\), y sé que \(gr(g) = 7\) porque \(f(x)\) es mónico de grado 7... Pero no sé seguirlo.
Este la verdad que no tengo idea de por dónde encararlo, plantié las ecuaciones de Fermat pero no me avivo de nada.
\(2^n\equiv8^m(10)\)
Planteo el sistema equivalente:
· \(2^n\equiv8^m(2)\) (Vale para todo \(n\))
· \(2^n\equiv8^m(5)\) (Es el que me restringe).
Como \(8\equiv2^3(5) entonces 8^m\equiv(2^3)^m(5)\) y me queda que \(2^n\equiv(2^3)^m(5)\) y ahí no se cómo seguir. A ojo, sé que los que cumplen son de la forma \((3,1);(5,3);(7;5)... (3+2n,1+2n)\) pero no se cómo llegar.
Gracias de antemano, si pueden responder joya porque rindo mañana.
Saludos!
en el 1º ejercicio podes pensar esto...
llamemos \(g(x) = f(x) - 3x^7\)
evaluamos en \(0\) y nos queda \(g(0) = f(0) -3 \star 0^7 \leftrightarrow g(0) = 0-0 = 0\)
ahora evaluamos en \(i\) y nos queda \(g(i) = f(i) + 3 \star i^7 \leftrightarrow g(i) = -3i +3i = 0\) (menos mal porque sino estariamos fritos)
calculamos \(g'(x)\) derivando como siempre y tenemos \(g'(x) = f'(x) - 21x^6\)
evaluamos nuevamente en \(0\) e \(i\) , \(g'(0) = 0 - 0 = 0\) y \(g'(i)=f'(i) - 21* i^6 = 0\)
como \(f(x) \in{R}[x] \wedge f(i) = 0 \implies f(-i) = 0 \wedge f'(-i) = 0\)
entonces tenemos a \(0\) y a \(i\) como raices dobles de \(g(x)\), por lo tanto \((x-0)^2(x-i)^2(x+i)^2 | g(x)\)
sabemos que \(gr(g(x)) = 7\) asi que por el teorema fundamental de la aritmetica \(7\) raices (el polinomio \(f(x)\) es monico y restarle \(3x^7\) no le bajaria el grado
Ahora es fácil ver que las raices no reales son \(i\) y \(-i\) con multiplicidad \(2\) cada una.
la raiz que falta tiene que ser real entonces nos queda que \(g(x) = (x-0)^2(x-i)^2(x+i)^2*(x-t)\ t\in{R}\)
los demas ahora los veo
en el 1º ejercicio podes pensar esto...
llamemos \(g(x) = f(x) - 3x^7\)
evaluamos en \(0\) y nos queda \(g(0) = f(0) -3 \star 0^7 \leftrightarrow g(0) = 0-0 = 0\)
ahora evaluamos en \(i\) y nos queda \(g(i) = f(i) + 3 \star i^7 \leftrightarrow g(i) = -3i +3i = 0\) (menos mal porque sino estariamos fritos)
calculamos \(g'(x)\) derivando como siempre y tenemos \(g'(x) = f'(x) - 21x^6\)
evaluamos nuevamente en \(0\) e \(i\) , \(g'(0) = 0 - 0 = 0\) y \(g'(i)=f'(i) - 21* i^6 = 0\)
como \(f(x) \in{R}[x] \wedge f(i) = 0 \implies f(-i) = 0 \wedge f'(-i) = 0\)
entonces tenemos a \(0\) y a \(i\) como raices dobles de \(g(x)\), por lo tanto \((x-0)^2(x-i)^2(x+i)^2 | g(x)\)
sabemos que \(gr(g(x)) = 7\) asi que por el teorema fundamental de la aritmetica \(7\) raices (el polinomio \(f(x)\) es monico y restarle \(3x^7\) no le bajaria el grado
Ahora es fácil ver que las raices no reales son \(i\) y \(-i\) con multiplicidad \(2\) cada una.
la raiz que falta tiene que ser real entonces nos queda que \(g(x) = (x-0)^2(x-i)^2(x+i)^2*(x-t)\ t\in{R}\)
los demas ahora los veo
Llegué a lo mismo, solo que a \((x-t)\) lo llamé \(H(X)\). El tema es cómo sacar H.
Fermat no te sirve. Probalo por induccion en n, para el paso inductivo hay una formula que te va a servir mucho (esta en la practica 2 creo)
Hace una tabla para las potencias de 2 y para las potencias de 3 (u 8 que es lo mismo) modulo 5 y fijate que conclusiones podes sacar.
1 - El grado de H tiene que ser 1 por el teórema fundamental del álgebra. Tendría que suponer que la raíz de H es real, pues sino sería de grado 8 y entonces con eso ya tendría todas las raíces reales. Pero entonces "Todas las factorizaciones de g(x)" serían
\(g(x) = X^2(X-i)^2(X+i)^2(X-h),h\in{R}/g(h)=0\) ??
2 - Ok, voy a probar por inducción a ver si llego a algo.
en el 2 hice lo mismo que vos y llegue a esto...
\(2^n \equiv 2^{3m} (5) \leftrightarrow 2^{n-3m} \equiv 1 (5)\). uso fermat entonces me queda \(n-3m \equiv 0 (4) \leftrightarrow n \equiv 3m (4)\). por ahi no hay mas que decir (lo dudo) pero ni idea
Caso base \((n=0)\):
\(a^{(p-1)}-1 |a^{(p-1)p}-1 = (a^{(p-1)})^p-1^p\) (pues \(p\) es impar).
Utilizando que \(x - y | x^n-y^n \forall n\in{N}, x \neq y\) puedo afirmar que lo anterior vale.
Paso inductivo:
Quiero ver que \(a^{(p-1)p^n}-1 |a^{(p-1)p^{n+1}}-1\) implica que
$$a^{(p-1)p^{n+1}}-1 |a^{(p-1)p^{n+2}}-1$$
Tomo \(a^{(p-1)p^{n+2}}-1 = (a^{(p-1)p^{n+1}})^p - 1^p\) y con el mismo razonamiento anterior, puedo decir que vale:
Yo no compro. Si pudieras explicar cual es "el mismo razonamiento anterior" te podemos decir donde esta tu error.
Un comentario en general, si tu induccion es "decorativa" entonces hace la demostracion sin induccion (y cuando veas que no se puede vas a entender por que la induccion no era decorativa).
Yo no compro. Si pudieras explicar cual es "el mismo razonamiento anterior" te podemos decir donde esta tu error.
Un comentario en general, si tu induccion es "decorativa" entonces hace la demostracion sin induccion (y cuando veas que no se puede vas a entender por que la induccion no era decorativa).
Entonces mi manera de demostrarlo sería:
\(a^{(p-1)p^{n+1}}-1=(a^{(p-1)p^n})^p-1(a^{(p-1)p^n})^p-1^p\), porque p es impar.
Sabiendo que \(\alpha - \beta | \alpha^n - \beta^n \forall n \in {N}\), llamo
\(a^{(p-1)p^n}-1=\alpha,1 = \beta\) y entonces \(\alpha-\beta | \alpha^p-\beta^p \forall\) p primo \(\in {Z}\)
y con esto quedaría demostrado.
Sino, el caso base por ejemplo sería demostrar:
\(a^{(p-1)}-1|a^{(p-1)p}-1\) que no le encuentro la vuelta, no se si seré tonto o tiene alguna vuelta rara pero no le encuentro la vuelta!! 😈 😈 😈 jajaja
Creo que tenés razón, pero el ejercicio ese es raro. Habitualmente te piden demostrar que \(p^n \mid a^{(p-1)p^{n-1}}-1\) para \((a:p)=1\) que es una generalización de Fermat y mi sugerencia fue para ese ejercicio.
😄 ... Si, no sé que onda... al menos a mi por inducción no me sale, por ahí hay alguna fórmula específica que no recuerdo o desconozco, o bien no le encuentro la vuelta.
Gracias por todas las respuestas.
Finalmente el 3 salió con las tablas de congruencias también.
Si entendí bien tu pregunta, no hay ninguna chance de que eso sea cierto, tenés contraejemplos para cualquier w y cualquier p (basta tomar \(d = w^{p-1} -1\))
O sea, yo lo pense asi. Si un d divide a n - (n elevado a alguna potencia), entonces d divide a algun multiplo de n, por lo que d divide a n.
O creo que sigo perdido. 😈