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Final 07/03/2014 (Ej. 4)

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Hola, buenas, me presento con esta duda.
No se me ocurre ni a palos como encarar el ejercicio 4 de este final (del 07/03/2014), que dice:

$$\textrm{Sea w una raiz de orden 10 de la unidad distinta de 1. Determinar el valor de}$$
$$w.(\sum_{k=0}^{3^{150}-1}w^k)$$
(ni idea como poner tildes en tex)

Si alguien me puede dar una mano, lo agradecería mucho.

Yo lo plante así :

$$w.(\sum_{k=0}^{3^{150}-1}w^k)$$

como \(w \neq 1\) entonces :

$$w.(\sum_{k=0}^{3^{150}-1}w^k) = w ( \frac{{w}^{3^{150}} -1}{w - 1} )$$

Entonces por la propiedad de

$${w}^{n}= {{w}^{{r}_{10}(n)}$$
$${w}^{{3}^{150}}= {{w}^{{r}_{10}({{3}^{150})}$$

\({3}^{150} \equiv {r}(10)\) \(\Longleftrightarrow\) T.CH.R

$${3}^{150} \equiv {{r}_{1}}(2)$$
$${3}^{150} \equiv {{r}_{2}}(5)$$

Resolvemos por separado las ecuaciones
y llegue a que \({3}^{150} \equiv {9}(10)\)

$$w ( \frac{{w}^{3^{150}} -1}{w - 1} ) = {w}(\frac {{w}^{9} - 1}{w -1})$$
$${w}(\frac {{w}^{9} - 1}{w -1}) = \frac{{w}^{10} - {w}}{w - 1}$$

y como \({w} \in {G}_{10}\)

$${w}^{10} = 1$$
$$\frac{{w}^{10} - {w}}{w - 1} = \frac {{1}-{w}}{w - 1} = -1(\frac {w -1}{w-1}) = -1$$

Fijense si esta bien las justificaciones por favor
Espero haberte ayudado yo tambien estoy practicando para los finales nos vemos 😄

Está muy bien escrito y justificado 🙂

Para los tildes: \text{ra'iz} (tal vez hay una forma más eficiente que desconozco).

Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$

Muchas gracias snayder, que pavo fui, me olvide por completo de verlo con series, es que estoy re mal con el tema de series, tengo que leer algún apunte o algo. Gracias Sofi también por confirmar, y por las tildes.

Edit:

Estaba repasándolo, y por un momento me perdí con la parte de

$${w}^{n}= {{w}^{{r}_{10}(n)}$$

pero agarre que era el w, a la, el resto de dividir a n por 10, creo que así se nota mas el subindice, siendo r=R:

$$w^{n}=w^{{R}_{10}(n)}$$

Medio vacío mi aporte, pero es que a primeras no me había quedado claro, jeje.