1.Probar que no existen \(x,y \in \mathbb{Q}\) que satisfacen la relacion \({x}^{2} + {y}^{2} = 3\)
Lo que intente fue tomar \({x}^{2} + {y}^{2}\equiv 3 (3)\) y probar los casos que si \(3\vert x\) y \(3\vert y\) o si \(3 \not |x\) y \(3\vert y\) o si \(3\vert x\) y \(3 \not |y\) o si \(3 \not |x\) y \(3 \not |y\).
Pero no me convence mucho alguna pista para seguir avanzando.
Sea \(w \in \mathbb{C}\) una raiz primitiva de la unidad de orden 10. calcular
lo que plante fue aquí fui reducir los exponentes y hacer distributiva y llegue
$${w}^{5}+{w}^{8}+{w}^{3}-{w}^{4}-{w}^{7}-1$$
Ahi me trabe alguna ayuda para terminar
a) Hallar todos los \(a \in \mathbb{C}\) para los cuales el polinomio
$$f = {x}^{6}+{a}{x^3}+1$$
tiene raices complejas multiples
b)Para cada \(a \in \mathbb{R}\) hallado,factorizar f en \(\mathbb{C}[X]\) y en \(\mathbb{R}[X]\)
Aca lo que plante fue derivar f y ver cuando se hace 0
$$f' = {6}{x^5}+{3a}{x^2}$$
$$f' = {3}{x^2}({2}{x^3}+{a})=0$$
\({x}=0\) o \({x^3}=\frac {-a}{2}\)
\({x}=0\) este no puede ser raiz de f
Reemplazando \({x^3}=\frac {-a}{2}\) en f
llego \({a}=2\) o \({a}=-2\)
Despues quise reemplazar los valores hallados en \({a}\) y factorizar pero no llegue a nada haber si medan alguna pista 😄
Sean \(a,b\in \mathbb{Q}\) que satisfacen el resto de dividir a \({a}\) por \({b}\) es \({140}\) y el resto de dividir a \({3b}\) por \({140}\) es \({105}\).
Calcular \(({a}:{b})\) y expresarlo como conbinación lineal entera de \({a}\) y \({b}\) en función de los cocientes \({q}_{1}\) de dividir a \({a}\) por \({b}\) y \({q}_{2}\) de dividir a \({3b}\) por \({140}\)
Aquí verdaderamente intente plantear tablas de resto congruencia pero nada no se me ocurrio nada 🙁 asi que si me dan unas pistas les agradezco.
Desde ya muchas gracias espero alguna sugerencia 😄
Para el 1):
x e y son racionales asi que NO TIENE NINGUN SENTIDO plantear congruencias o divisibilidad. Ademas si fueran enteros seria trivial porque cuadrados perfectos menores o iguales a 3 hay solo 2.
La idea es que plantees \(x=\frac{a}{b}, \quad y=\frac{c}{d}\) con \(a,b,c,d\) enteros, limpies los denominadores y hagas alguna congruencia.
Por ahi ayuda demostrarlo por absurdo + tomar b y d minimos.
Para el 4):
El enunciado te dice exactamente lo que tenes que hacer: planteas \(a=q_1 b +140\), \(a=q_2 3b + 105\) y haces cuentas
Bueno el 1 lo hice así Quimey fíjate si lo justifique bien
1.Probar que no existen \(x,y \in \mathbb{Q}\) que satisfacen la relacion \({x}^{2} + {y}^{2} = 3\)
Lo voy a probar por el absurdo
\(\exists {a},{b}\in\mathbb{Z}\) y \(\exists {c},{d}\in\mathbb{N}\) tal que
\({x}=\frac{a}{c}\) , \({y}=\frac{b}{d}\) y ademas le voy a pedir \(({a}:{c})=1\) , \(({b}:{d})=1\)
Limpio los denominadores
\({a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}={3}{c}^{2}{d}^{2}\) (I)
Sabemos que \({a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}={3}{c}^{2}{d}^{2}\) luego se sigue que \({c}^{2}\vert {3}{c}^{2}{d}^{2}\) y \({c}^{2}\vert {b}^{2}{c}^{2}\) \(\Longrightarrow\) \({c}^{2}\vert {a}^{2}{d}^{2}\) y como ademas \(({a}:{c})=1\) podemos concluir que \({c}^{2}\vert {d}^{2}\) (II)
Sabemos que\({a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}={3}{c}^{2}{d}^{2}\) luego se sigue que \({d}^{2}\vert {3}{c}^{2}{d}^{2}\) y \({d}^{2}\vert {a}^{2}{d}^{2}\) \(\Longrightarrow\) \({d}^{2}\vert {b}^{2}{c}^{2}\) y como ademas \(({b}:{d})=1\) podemos conclur que \({d}^{2}\vert {c}^{2}\) (III)
De (II) y (III) deducimos que \({c}^{2}={d}^{2}\)
A (I) lo divido por \({c}^{2}\) sabiendo que \({c}^{2}={d}^{2}\)
\({a}^{2}+{b}^{2}={3}{d}^{2}\) (IV) \(\Longrightarrow\) \({a}^{2}+{b}^{2} \equiv 0 (3)\)
Hago una tabla de restos para \({a}^{2}\) modulo 3 , \({b}^{2}\) modulo 3 y despues para \({a}^{2}+{b}^{2}\) modulo 3
(No se hacer todavia las tablas en látex cuando sepa lo modifico)
El resultado que llego es que \({a}\equiv 0 (3)\) y \({b} \equiv 0 (3)\)
pero si \({3}\vert {b}\) y como \(({b}:{d})=1\) entonces \({3}\not |{d}\) \(\Longrightarrow\) \({3}\not |{d}^{2}\)
\({3}\vert {a}\) lo puedo escribir como \({a}={3}{a'}\)
\({3}\vert {b}\) lo puedo escribir como \({b}={3}{b'}\)
Reemplazando en (IV) me queda
$${9}{a'}^{2}+{9}{b'}^{2}={3}{d}^{2}$$
Divido por 3
\({3}{a'}^{2}+{3}{b'}^{2}={d}^{2}\) y como \({3}\vert {3}{a'}^{2}\) y \({3}\vert {3}{b'}^{2}\) concluimos que \({3}\vert {d}\)
Pero esto es absurdo ya que si \(({b}:{d})=1\)
Por lo tanto no existen \(x,y \in \mathbb{Q}\) que satisfacen la relacion \({x}^{2} + {y}^{2} = 3\)
Fijate si lo hice bien con justificaciones y mañana subo lo que hice del ejercicio 4.
A mi me parece que esta bien. Igual un par de comentarios:
Cuando supones quien es coprimo con quien lo pusiste al reves.
No abuses de la "flechita" (\(\Longrightarrow\)), esta flecha es una implicacion y no es un sinonimo de "entonces". Creo que es mucho mas claro si usas mas palabras y menos simbolos.
Bueno tenes razón lo que decís ahí modifique las flechas que significaban entonces y deje los que implican (gracias por avisar así no justifico mal el final que rindo 23) y los coprimos que puse mal los corregí 😄
Y en rato edito las tablas así queda prolijo la resolución y subo lo que hise del ejercicio 4 que me trabe en algo así me das un pista mas para poder terminarlo.
\({a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}={3}{c}^{2}{d}^{2}\) entonces como \({c}^{2}\vert {3}{c}^{2}{d}^{2}\) y \({c}^{2}\vert {b}^{2}{c}^{2}\) \(\Longrightarrow\) \({c}^{2}\vert {a}^{2}{d}^{2}\) entonces como \(({a}:{c})=1\) \(\Longrightarrow\) \({c}^{2}\vert {d}^{2}\) (II)
por
Sabemos que \({a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}={3}{c}^{2}{d}^{2}\), \({c}^{2}\vert {3}{c}^{2}{d}^{2}\) y \({c}^{2}\vert {b}^{2}{c}^{2}\), luego se sigue que \({c}^{2}\vert {a}^{2}{d}^{2}\) y como ademas \(({a}:{c})=1\) podemos concluir que \({c}^{2}\vert {d}^{2}\) (II)
o algo similar. Escribir con palabras lo que estas pensando hace que sea mucho mas facil seguir los razonamientos.
Bueno subo a lo que llegue al ejercicio 4
4. Sean a,b \(\in \mathbb{Q}\) que satisfacen el resto de dividir a \({a}\) por \({b}\) es \({140}\) y el resto de dividir a \({3b}\) por \({140}\) es \({105}\).
Calcular \(({a}:{b})\) y expresarlo como conbinación lineal entera de \({a}\) y \({b}\) en función de los cocientes \({q}_{1}\) de dividir a \({a}\) por \({b}\) y \({q}_{2}\) de dividir a \({3b}\) por \({140}\)
Esto es dato del enunciado
\({a}={b}{q}_{1}+{140}\) (I)
\({3b}={140}{q}_{2}+{105}\) (II)
Llamo a \({d}:= ({a}:{b})\)
Como \({d}\vert{a}\) y \({d}\vert{b}\) entonces (I) \({d}\vert{140}\) (III)
Y demas como \({d}\vert{b}\) y \({d}\vert{140}\) entonces (II) \({d}\vert{105}\) (IV)
Podemos concluir por (III) y (IV) que \({d}\vert ({140}:{105}) = {35}({4}:{3})\) pero ademas sabemos que \(({4}:{3})=1\) entonces \({d}\vert{35}\)
Los posibles valores de \({d}\) son \({1}\), \({5}\), \({7}\), \({35}\)
Ademas por (II) sabemos que \({35}\vert{140}\) y \({35}\vert {105}\) podemos deducir que \({35}\vert {3b}\) pero como \(({35}:{3})=1\) entonces concluimos que \({35}\vert {b}\)
Pero por (I) tenemos que \({35}\vert{140}\) y \({35}\vert{b}\)
por lo tanto \({35}\vert{a}\)
En conclusión \({35}\vert {d}\) (V)
Por lo tanto como los posibles valores de \({d}\) son \({1}\), \({5}\), \({7}\), \({35}\) y por (V) tenemos que \({d}={35}\)
\(({a}:{b})={35}\)
Esto lo que pude hacer lo hasta hora, sobre la combinación lineal no se como hacerlo si me darías una mano como para terminar este ejercicio.
Nos vemos gracias
Lo que planteaste puede ser que como \({3} \vert {b}\) y \({3} \vert {105}\) entonces \({3} \vert {140}{q}_{2}\)
Pero como \(({3}:{140}) = 1\) concluimos que \({3}\vert {q}_{2}\)
Osea que a \({q}_{2}\) lo puedo escribir como\({q}_{2}={3}{q}_{3}\) para algun \({q}_{3}\)
la ecuacion \({3b}={140}{q}_{2}+{105}\) la puedo escribir como
\({b}={140}{q}_{3}+{35}\) para algun \({q}_{3}\)
Por ende las ecuaciones que me quedan son
\({a}={b}{q}_{1}+{140}\) (I)
\({b}={140}{q}_{3}+{35}\) para algun \({q}_{3}\) (II)
Aplicando el algoritmo de división tenemos
Por (II) \({35}={b}-{140}{q}_{3}\) (III)
De (I) tenemos que \({140}={a}-{b}{q}_{1}\)
reemplazando en (III)
$${35}={b}-({a}-{q}_{1} {b}){q}_{3}$$
Distribuyendo llegas a que la C.L es \({35}=-{q}_{3}{a}+({1}+{q}_{1}{q}_{3}){b}\) para algun \({q}_{3}\) siendo \({q}_{2}={3}{q}_{3}\)
Haber fíjate si lo hice bien así lo meto en la resolución.
Voy a seguir intentado resolver el 2 y el 3
Gracias por todo Quimey y a Sofia por responder.
En el ej 2 , fíjate de separar los términos , de separar los positivos de un lado y los negativos de otro y tratar de llevarlos a dos serie de potencias.
En el ej 3 , una vez que sabes que a es 1 o -1 , probaste reemplazarlo en la ecuacion original y hace la sustitucion u = x^3 (y trabajar con la cuadratica que queda ) ?
Hola el 3 si me salio con el cambio de variable \({z}={x}^{3}\)
Me quedan los polinomios
$${a}={1}$$
$${f}(x)={x}^{6}+{x}^{3}+{1}$$
Aplicando el cambio de variable de queda \({z}^{2}+{z}+{1}\)
Las raices de ese pilinomio son las primitivas de\({z} \in {G}_{3}-\){1}
\({z}_{1}=\frac{{-1}+\sqrt{3}}{2}\) y \({z}_{2}=\frac{{-1}-\sqrt{3}}{2}\)
Y buscando las reices
\({x}_{1}^{3}=\frac{{-1}+\sqrt{3}}{2}\) (1)
\({x}_{2}^{3}=\frac{{-1}-\sqrt{3}}{2}\) (2)
Resolviendo (1) por TEOREMA DE MOIVRE
\({w}_{k}=(\cos (\frac{{6}{k}{\pi}+{2}{\pi}}{9})+{i}(\sin(\frac{{6}{k}{\pi}+{2}{\pi}}{9}))\) con \({k}={0},{1},{2}\)
Resolviendo (2) por TEOREMA DE MOIVRE
\({u}_{t}=(\cos (\frac{{6}{t}{\pi}+{4}{\pi}}{9})+{i}(\sin(\frac{{6}{t}{\pi}+{4}{\pi}}{9}))\) con \({t}={0},{1},{2}\)
Obtengo la factorizacion de f en C[x]
\({f}(x)=({x}-{w}_{0})({x}-{w}_{1})({x}-{w}_{2})({x}-{u}_{0})({x}-{u}_{1})({x}-{u}_{2})\) con \({k}={0},{1},{2}\) y \({t}={0},{1},{2}\)
Bueno lo mismo procedimiento \({a}=-{1}\)
Lo que pregunto es como saco la factorización en \(\mathbb{R}[x]\) si me podrían ayudar les agradecería.
El ejercicio 2 no sale por ningún camino(ya hice de todo, siempre me queda alguna potencia de \({w}\) en la solución) si me podrían ayudar les agradezco ya que no me quiero quedar con la duda.
Quimey tenes razón que tonto fui vale \(a=2\) o \(a=-2\) ahi lo intento resolver
Y el 2 entonces si o si depende de de las potencias de \(w\).
De nuevo gracias por contestar rápido es que rindo el lunes 23 ojala me vaya bien nos vemos.
Dejo el termino de la izquierda igual y normalizo el lado derecho y el modulo de w es 1
$$({w}-1).({w}^{4}+{w}^{7}+{w}+{w^2}+1)$$
En el lado derecho , dejo el 1 separado y escribo los otros terminos como una serie de potencias
\(\sum_{i=0}^{3}w^{i}\) con i siendo igual a
\(\frac{i*(i+1)}{2}\) + 1 (Es la sumatoria desde 0 hasta i , sumando 1 )
Si no estoy metiendo la pata , la sumatoria da
$$\frac{{w}^{11}-1}{w-1}$$
Como 11 \(\equiv 1 (10)\) , esa sumatoria da 1 (queda lo mismo arriba y abajo)
Entonces a lo llego es a lo siguiente
\(({w}-1).(1+1)\) (un 1 es de la sumatoria , el otro es el modulo de w)
Sobre el de factorizacion en R[X] , los factores irreducibles en los reales son las cuadráticas con raices complejas y los polinomios de grado 1 con raiz real.
Imagínate que tenes r1 y r2 donde r2 es el conjungado de r1 , si haces
\((x-{r1}).(x-{r2})\) , eso te da un polinomio con coeficientes reales y raices complejas.
Hace eso con las raices de tu polinomio , básicamente te tienen que quedar 3 cuadráticas con raíces
Dejo el ultimo termino de lado y busco como expresar los otros terminos como una serie . (En el otro post converti el \(\vert w\vert}\) a un 1 )
Tengo \(f(x)= \frac{x*(x+1)}{2}+1\)
Hago una tablita de f , para los valores 0 , 1 ,2 ,3
$$f(0) =1, f(1) =2, f(2) =4, f(3) =7$$
Como los valores de f , coinciden con los exponentes de los \(w\) , puedo escribir a los w como una sumatoria
Aquí subo la resolución del 3
3. a) Hallar todos los \(a \in \mathbb{C}\) para los cuales el polinomio
$$f = {x}^{6}+{a}{x^3}+1$$
tiene raices complejas múltiples
b)Para cada \(a \in \mathbb{R}\) hallado, factorizar f en \(\mathbb{C}[X]\) y en \(\mathbb{R}[X]\)
\(f = {x}^{6}+{a}{x^3}+1\) (I)
Aca lo que plante fue derivar f y ver cuando se hace 0
$$f' = {6}{x^5}+{3a}{x^2}$$
$$f' = {3}{x^2}({2}{x^3}+{a})=0$$
\({x}=0\) o \({x^3}=\frac {-a}{2}\)
\({x}=0\) este no puede ser raiz de (I)
Reemplazando \({x^3}=\frac {-a}{2}\) en f
$$(\frac{-a}{2})^{2}+(\frac{-a}{2})+1=0$$
Llego a\({a}=2\) o \({a}=-2\)
Para a \({a}=-2\)
$$f = {x}^{6}-{2}{x^3}+1$$
Haciendo un cambio de variable \({x}^{3}={z}\)
$${z}^{2}-{2}{z}+1=({z}-{1})^{2}$$
De aquí sabemos que \({1}\) es raiz doble
Y ahora voy a buscar\({x}^{3}=1\)
Pero por Teorema de Moivre
\({w}_{k}=(\cos (\frac{{2}{k}{\pi}}{3})+{i}(\sin(\frac{{2}{k}{\pi}}{3}))\) con \({k}={0},{1},{2}\)
\({w}_{0}={1}\) raíz doble
\({w}_{1}=\frac{{-1}+\sqrt{3}}{2}\) raíz doble
\({w}_{2}=\frac{{-1}-\sqrt{3}}{2}\) raíz doble
Osea que la factorización de f en \(\mathbb{C} [x]\)
Son irreducibles en \(\mathbb{C}[x]\) ya que son monicos y de grado 1
y la factorización de f en \(\mathbb{R}[x]\)
$${f}(x)=({x}-{1})^{2}({x}^{2}+{x}+{1})^{2}$$
Estos también son irreducibles en \(\mathbb{R}[x]\) ya que tenemos un monomio de grado 1 y un polinomio de grado 2 que en \(\mathbb{R}[x]\) es irreducible
Para a \({a}=2\)
$$f = {x}^{6}+{2}{x^3}+1$$
Haciendo un cambio de variable \({x}^{3}={z}\)
$${z}^{2}+{2}{z}+1=({z}+{1})^{2}$$
de aquí sabemos que \({-1}\) es raiz doble
Y ahora voy a buscar\({x}^{3}=-1\)
Pero por Teorema de Moivre
\({u}_{t}=(\cos (\frac{({2}{k}+{1}){\pi}}{3})+{i}(\sin(\frac{(({2}{k}+{1}){\pi})}{3}))\) con \({t}={0},{1},{2}\)
\({u}_{0}=\frac{{1}+\sqrt{3}}{2}\) raíz doble
\({u}_{1}=-{1}\) raíz doble
\({u}_{2}=\frac{{1}-\sqrt{3}}{2}\) raíz doble
Osea que la factorización de f en \(\mathbb{C}[x]\)
Son irreducibles en \(\mathbb{C}[x]\) ya que son monicos y de grado 1
y la factorización de f en \(\mathbb{R}[x]\)
$${f}(x)=({x}+{1})^{2}({x}^{2}-{x}+{1})^{2}$$
Estos también son irreducibles en \(\mathbb{R}[x]\) ya que tenemos un monomio de grado 1 y un polinomio de grado 2 que en \(\mathbb{R}[x]\) es irreducible
Bueno fíjense si esta bien.
Gracias por la ayuda Quimey nos vemos.