No se si habrá alguno de los que rindieron este examen conmigo ayer, pero realmente fue criminal como azotó. (A mi me resulto muy dificil)
Paso a dejarlo escrito:
- Sea \({F}_{n}\) la sucesion de Fibonacci:
\({F}_{0} = 0\) , \({F}_{1} = 1\), \({F}_{n+1} = {F}_{n} + {F}_{n-1}\) (\(n \geq 1\))
Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) no ambos nulos. Probar que para \(n \geq 0\) se tiene
Encontrar otra sucesión \({G}_{n}\) en \(\mathbb{Z}\) tal que:
\(({G}_{n} a + {G}_{n+1} b : {G}_{n+1} a + {G}_{n+2} b) = (a:b)\) (\(n \geq 0\))
2)a) Sea \(f \in \mathbb{Q} [X]\), \(gr f = 5\) tal que \(1+ \sqrt{2}\) y \(3-\sqrt{3}\) son raices de \(f\). Probar que \(f\) tiene una raíz racional.
b)Encontrar un polinomio \(g\) en \(\mathbb{Q}[X]\) de grado \(5\) con raíz \(1+ \sqrt{2}\) pero sin raices racionales.
- Probar que si \(p\) y \(q\) son primos distintos y si \(a\) es corpimo con \(pq\)
Entonces \(a^{[p-1:q-1]}\) es congruente a \(1\) (mod \(pq\))
4)Dado \(k \in \mathbb{N}\), \({G}_{k} = \{z \in \mathbb{C} / z^k = 1\}\) Probar que si \(n\) y \(m\) son coprimos...
\(f: {G}_{n}\) x \({G}_{m} \rightarrow {G}_{mn}\)
\(f(t,s) = ts\) es biyectiva.
5)Encontrar los enteros \(0\leq a \leq 2400\) divisibles por \(8\) y que su desarrollo en base \(7\) tiene al menos \(3\) digitos iguales.
Si alguien me podria ayudar a entenderlo un poco mejor seria de mucho agradecimiento.
(No se usar el latex, tengo que pegarle un vistazo a la guia que está ahi en el foro)
Muchas gracias por la lectura.
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