\(Dado \n \in \ N \ denotamos \ por \ G_{n} \ al \conjunto \ de \ las \ raices \ n-esimas \ de \la \ unidad.\) \(\ Probar \ que \ si \ p \ y \ q \ son \ primos \ distintos\ positivos, \ la \ suma \ d \ las \ raices \ primitivas \ de \ G_{pq} \ es \ 1.\)
Como p y q son primos distintos, podemos usar la propiedad de que
la suma de las raices primitivas de \(G_{pq}\) es la suma de las raices de \(G_{pq}\) menos la suma de las raices de Gp , menos la suma de las raices de Gq, mas la suma de las raices de Gp interseccion Gq. Esto ultimo es 1 pues Gp interseccion Gq, como son coprimos entre si, es G1. Como la suma de las raices enesimas de la unidad es 0, luego tenemos que la suma de las raices primitivas de Gpq = 0 - 0 - 0 + 1 = 1 .
No se si harà falta una fundamentacion mas formal, por favor diganlo si es asi.
Ejercicio 2:
Sea \(f(x) \in \ Z[x]\) un polinomio tal que al evaluarlo en cualquier numero entero a, f(a) resulta siempre un multiplo de 101 o un multiplo de 107, ambos son numeros primos. Probar entonces que o bien f(x) es siempre divisible por 101 para todos los valores de a, o bien f(a) es divisible por 107 para todos los valores de a.
A decir verdad no entiendo el ejercicio porque me dice que al evaluarlo en cualquier entero a, resulta multiplo de 101 o 107 (o sea, f(a) divisible por 101 o 107 para cualquier a? ) y luego me dice que pruebe justamente que es siempre divisible por 101 o 107 para todos los valores de a.
Ejercicio 3:
Dado un numero natural n, determinar el resto de dividir por 5 a \(n^n\) en terminos de una congruencia adecuada para n.
Si 5 | n entonces el resto es 0. Si 5 no divide a n, entonces (5:n) = 1, luego se puede aplicar fermat y sabemos que \(n^n \equiv n^{r_{n}(4)} (mod 5) \ pues \ n^4 \equiv 1 (mod 5)\\)
Ahora, segun el resto que tenga n al dividir por cuatro, obtenemos \(n^n \equiv n (mod 5) \ o \ n^n \equiv n^2 (mod 5) \ o \ n^n \equiv n^3 (mod 5) \ o \ n^n \equiv n^4 (mod 5) \\) y de ahi en mas depende , si no me equivoco, del resto que tenga n al dividir por 5. Entonces nos van quedando congruencias del tipo:
Si \(n \equiv 1 (mod 4) \land n\equiv x (mod 5) \ entonces \ n\equiv y (mod 20)...\)
y lo mismo para los demas restos, es decir, para cada resto de dividir n por 4, tenemos 4 restos de dividir n por 5, y por lo tanto vamos tomando 4 congruencias modulo 20 por cada resto de dividir n por 4, y nos quedan distintas condiciones para congruencia de n mod 20. No se si estara bien, o si falta alguna justificacion. El resultado me quedo :
$$n\equiv 17, \ 2, \ o \ 7 (mod 20) \ entonces \ n^n\equiv 2(mod 5)$$
\(n\equiv 9, \14,\ o \ 19 \ (mod20) \ entonces \ n^n \equiv 4(mod5)\)
Ejercicio 4:
Decir si una relacion en un conjunto A puede ser:
(a) simetrica, anti simetrica y transitiva.
(b) simetrica, antisimetrica, y no transitiva
(c) simetrica, no antisimetrica y transitiva
(d) simetrica, no antisimetrica y no transitiva
(e) no simetrica, antisimetrica y transitiva
(f) no simetrica, antisimetrica y no transitiva
(g) no simetrica, no antisimetrica y transitiva
(h) no simetrica, no antisimetrica y no transitiva.
Encontrar un ejemplo en los casos afirmativos y demostrar la imposibilidad en los negativos. Sugerencia: En todos los casos positivos alcanza con un conjunto A de 3 elementos.
Solo pude formar ejemplos para el (d) y el (e) pero a decir verdad no entiendo bien el ejercicio. Alcanza con dar un ejemplo de relacion de la forma de conjunto? es decir, de la forma \(R = {(a,a),(a,b)..., \etc }\) o hay que dar la condicion de la relacion, es decir por ejemplo \(aRb \Leftrightarrow a=b\) ?
Cualquier ayuda para este ejercicio vendria bien.
Ejercicio 5:
Hallar todos los \(a \in C\) para los cuales al menos una de las raices de \(f = x^6 + x^5 -3x^4 + 2x^3 + x^2 - 3x + a\)
sea una raiz sexta primitiva de la unidad. Para cada valor de a hallado, factorizar en Q,R y C [x].
Las raices sextas primitivas de la unidad son aquellas de la forma \(w_{k} = cos \ 2k\Pi / 6 \ \ + i.sen \ 2k\Pi /6 \\) donde (k:6) = 1. Luego, solo nos sirven \(w_{1} \ y \ w_{5}\) los cuales son \((1/2 \ + \sqrt{3} /2 )\ y \ (1/2 - \sqrt{3} /2) \\) .
Tomamos el polinomio \(p = x^2 -x +1\) que resulta de hacer la multiplicacion con esas dos raices, y comenzamos a dividir el polinomio f. Queda como condicion que el resto de dividir f por p es r = a-1 entonces como queremos que sea 0 el resto, nos queda a= 1. Luego hay que seguir factorizando buscandole las raices, que son faciles.
nose si rendir el viernes o rendir el otro viernes jajaj. Rendí en diciembre en primera fecha pero llegué poco preparado y clavé un 3. Veo que en 2da y 3ra fecha se ponen mas feos xD asi que estoy en la duda
Estamos en la misma jaja, por lo que parece, segun figura en la mitologia, si, el primer llamado es mas "facil" yo tambien saque esa conclusion en base a mis criterios psicoticos.
Pero ya fue, yo me mando el viernes.
Computacion no?
Y, en diciembre el primer llamado fue realmente mas facil que los otros, todavia no puedo creer como lo reprobe jajajaj. Y si, de computacion soy 😛
Alguna idea de como resolver el ejercicio 2?
Y, lo que a mi se me ocurre es que: (Lo que me quedo en duda es si habla de dos casos completamente distintos, supongo que si, y si no capaz tenga que pensarlo un rato mas)
\(f(a) = 101p\) (con p racional), la unica forma de que \(SIEMPRE\)de un multiplo de 101 seria que todos los terminos asociados \(a0,..., an\)sean multiplos de 101.
Por ejemplo tener \(f(x) = 101x^5 - 101 x^4 + 303x^3 + 505x^2 - 303x + 202\), sea cual fuere el a usado, sacando factor comun 101 seria, en este caso,\(f(x) = 101 (x^5 - x^4 + 3^3 + 5x^2 - 3x +2)\)y bueno, sin importar el a que le metas siempre va a quedar \(f(a) = 101p\)(Con el p racional). Si o si la sumatoria que forma el polinomio adelante deberia tener un 101, sino no valdria.
Analogamente para el 107.
Aunque supongo que si se referiere a que siempre es multiplo de \(101\)Y de \(107\), entonces la sumatoria que forma el polinomio deberia tenes delante \(101*107.\) Y la factorizacion de la imagen de la funcion siempre tendria, al menos en potencia \(1\), al \(101\)y \(107\)para cada a del dominio. A fin de cuentas, que
f(x) = g(x)(101*107) .
Si alguno ve alguna solucion mejor, seria de mucha ayuda. Es medio confuso el enunciado.
Gracias.
off: supongo qeu seremos compañeros de algo 1 y prob, tirame alguna data tuya. soy un recluido social.
No necesariamente todos los terminos asociados tienen que ser multiplos de 101, porque como el polinomio es una suma de terminos de la pinta \(b_{n} x^{n} + ... + b_{0}\) puede ocurrir por ejemplo que \(b_{1} a + b_{0} \equiv 0 \ (mod \ 101)\) (al evaluar en a) pero que 101 no divida a \(b_{1}a + b_{0}\)
ejemplo: si a = 30, tenes \(f = b_{n}x^{n} + ... + \ 3x + 11\) con \(b_{n}, ..., b_{2} \ multiplos \ de \ 101\) (como dijiste vos, menos los b1 y b0) pero resulta \(f(a) = b_{n}a^{n} + ... + 3.30 + 11\) y resulta \(f(a) \equiv 0 \ (mod \ 11)\)
No se si me explico.
Todavia no encontre sin embargo una manera copada de encararlo.
off: ya curse algo 1 y proba, estoy rindiendo algebra porque en su momento la colgué. Recomendación: jamas cuelgues finales.
No necesariamente todos los terminos asociados tienen que ser multiplos de 101, porque como el polinomio es una suma de terminos de la pinta \(b_{n} x^{n} + ... + b_{0}\) puede ocurrir por ejemplo que \(b_{1} a + b_{0} \equiv 0 \ (mod \ 101)\) (al evaluar en a) pero que 101 no divida a \(b_{1}a + b_{0}\)
ejemplo: si a = 30, tenes \(f = b_{n}x^{n} + ... + \ 3x + 11\) con \(b_{n}, ..., b_{2} \ multiplos \ de \ 101\) (como dijiste vos, menos los b1 y b0) pero resulta \(f(a) = b_{n}a^{n} + ... + 3.30 + 11\) y resulta \(f(a) \equiv 0 \ (mod \ 11)\)
No se si me explico.
Todavia no encontre sin embargo una manera copada de encararlo.
off: ya curse algo 1 y proba, estoy rindiendo algebra porque en su momento la colgué. Recomendación: jamas cuelgues finales.
Yo decia que necesariamente, todos los terminos asociados sean multiplos de 101, incluso el independiente, ahi si que siempre daria un multiplo de este. Si, seguro que poniendo otros valores de terminos daria para algunos a, y para otros no.
Pero imaginaba que la unica forma de que f(a) sea congruente a 0 modulo 101, es si es f(a) = 101 g(a), y que g(a) de cualquier cosa no importa. Capaz alguien se cope y responda je.
Che es jodido algo 1? Estoy curioso, se puede conseguir una changa de programador con los conocimientos de la cursada? (Se poco y nada de dicho rubro)
Lo que quiere tratar de decir este ejercicio es que \(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~~(101 \mid f(a) \lor 107 \mid f(a)) \Rightarrow (\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~101 \mid f(a))~\lor~(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~107 \mid f(a))\)
Entonces supongo que
\(\exists b \in \mathbb{Z}\) tal que \(101 \nmid f(b)\)
\(\exists c \in \mathbb{Z}\) tal que \(107 \nmid f(c)\)
Por Teorema Chino del Resto
como \(101\perp 107\, \exists d \in \mathbb{Z}\) tal que \(d \equiv b ~(m\'od~101)\) y \(d \equiv c~ (m\'od~107)\)
Luego
$$f(d) \equiv f(b) \not \equiv 0 ~(m\'od~101)$$
$$f(d) \equiv f(c) \not \equiv 0 ~(m\'od~107)$$
Por lo tanto \(101 \nmid f(d)\) y \(107 \nmid f(d)\).
Absurdo! Lo único que queda es que \((\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~101 \mid f(a))~\lor~(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~107 \mid f(a))\)
Che es jodido algo 1? Estoy curioso, se puede conseguir una changa de programador con los conocimientos de la cursada? (Se poco y nada de dicho rubro)
No es jodida, hay que llevarle el ritmo nada más, porque pasas a tener practicas y trabajos practicos durante toda la cursada, y 15 horas semanales en vez de las 10 que tenias para analisis o algebra. Los profesores suelen ser muy macanudos y hacen todo más llevadero. En cuanto a si se puede conseguir algun laburo o laburito como programador con esos conocimientos, la verdad que no lo sé, diría que lo dudo bastante. Quizá alguna de esas "becas" de capacitación en alguna empresa, que toman gente que recién empieza en el área de programación para ir formandolos. Sin embargo, varios profesores nos recomendaron que no hagamos eso por una cuestión de que te "forman" de otra manera respecto a lo que apunta la carrera. Más que eso no te puedo decir porque no sé realmente jaja, capaz algun otro de computación te pueda tirar algun centro.
nirvguy escribió:
Lo que quiere tratar de decir este ejercicio es que \(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~~(101 \mid f(a) \lor 107 \mid f(a)) \Rightarrow (\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~101 \mid f(a))~\lor~(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~107 \mid f(a))\)
Entonces supongo que
\(\exists b \in \mathbb{Z}\) tal que \(101 \nmid f(b)\)
\(\exists c \in \mathbb{Z}\) tal que \(107 \nmid f(c)\)
Por Teorema Chino del Resto
como \(101\perp 107\, \exists d \in \mathbb{Z}\) tal que \(d \equiv b ~(m\'od~101)\) y \(d \equiv c~ (m\'od~107)\)
Luego
$$f(d) \equiv f(b) \not \equiv 0 ~(m\'od~101)$$
$$f(d) \equiv f(c) \not \equiv 0 ~(m\'od~107)$$
Por lo tanto \(101 \nmid f(a)\) y \(107 \nmid f(d)\).
Absurdo! Lo único que queda es que \((\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~101 \mid f(a))~\lor~(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~107 \mid f(a))\)
En la ùltima parte pusiste \(101 \nmid f(a)\), pero te referias a f(d) no?
Muchisimas gracias! Ahora entendi.
Si, se me había escapado, quise poner \(101 \nmid f(d)\). Igual tenías razón, no está muy clara esa demostración.
Se me ocurre...por el contrarreciproco.
Qqv \(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~~(101 \mid f(a) \lor 107 \mid f(a)) \Rightarrow (\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~101 \mid f(a))~\lor~(\forall ~ a \in \mathbb{Z} ~107 \mid f(a))\) o lo que es lo mismo que \((\not \exists b \in \mathbb{Z} \mbox{ tal que } 101 \mid f(b)) \wedge (\not \exists \ c \in \mathbb{Z} \mbox{ tal que } 107 \mid f(c)) \Rightarrow \not \exists a \in \mathbb{Z} \mbox{ tal que } 101 \mid f(a) \vee 107 \mid f(a)\)
\(\forall b \in \mathbb{Z}\) \(101 \nmid f(b)\)
\(\forall c \in \mathbb{Z}\) \(107 \nmid f(c)\)
Entonces por Teorema Chino del Resto
como \(101\perp 107\, \exists d \in \mathbb{Z}\) tal que \(d \equiv b ~(m\'od~101)\) y \(d \equiv c~ (m\'od~107)\)
Luego
$$f(d) \equiv f(b) \not \equiv 0 ~(m\'od~101)$$
$$f(d) \equiv f(c) \not \equiv 0 ~(m\'od~107)$$
Por lo tanto \(\forall a \in \mathbb{Z}\) \(101 \nmid f(a)\) y \(107 \nmid f(a)\) o \(\not \exists a \in \mathbb{Z} \mbox{ tal que } 101 \mid f(a) \vee 107 \mid f(a)\)
Igual esta demostración tampoco parece muy clara. Ya me confundí! 😕
Basicamente supones que existen b,c tales que 101 no divide a f(b), y 107 no divide a f(c), y llegas a que existe un d tal que ni 101 lo divide, ni 107 lo divide, a f(d) lo cual es absurdo porque por hipotesis te dicen que para todo a, f(a) es multiplo o de 101 o de 107, y estas encontrando un entero tal que no es multiplo de ninguno.
Va, por lo menos creo que me convenció a mi la primera demostracion, la segunda si que me confundio jajaj
Con respecto al ej 3, veo un par de falencias, porque para dar una respuesta habría que cubrir todos los valores posibles de "n", y vos con congruencias mód 20 no estás considerando qué pasa cuando \(n\equiv 8, 12, 14 o 16\). Yo al principio lo había encarado así también pero se hace muy largo y es muy fácil cometer un error, por ejemplo vos decís que si \(n\equiv 2 (20)\Rightarrow n^n\equiv 2 (5)\) Pero si \(n\equiv 2 (20)\), en particular n puede ser igual a 2, y \(2^2=4\not\equiv 2(5)\).
Yo lo que hice fue hacer una tabla de restos módulo 5:
La primera solucion es la correcta pero le faltaron algunos casos, habria que completarlo (y arreglar los errores). Lo que propones vos esta mal por ejemplo \(7^7=823543\).