Final del 21/12/2012, si no me equivoco lo tomó Graña.
a) Sea \(F_n\) la susecion de Fibonacci. Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) no ambos nulos. Probar que \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 0\) vale
$$(F_n a + F_{n+1} b : F_{n+1} a + F_{n+2} b) = (a : b)$$
b) Encontrar otra sucesión \(G_n \in \mathbb{Z}\), tal que valga la misma propiedad.
a) Sea \(f \in \mathbb{Q}[X]\) de grado \(5\) tal que \(1 + \sqrt{2}\) y \(3 - \sqrt{3}\). Probar que tiene una raiz racional.
b) Encontrar un polinomio \(f \in \mathbb{Q}[X]\) de grado \(5\) con raiz \(1 + \sqrt{2}\), pero sin raices racionales.
Probar que si \(p\) y \(q\) son dos primos distintos, y \(a \in \mathbb{Z}\) es coprimo con \(pq\), entonces
$$a^{[p-1 : q-1]} \equiv 1\ (pq)$$
Dado \(k \in \mathbb{N}\), probar que si \(n\) y \(m\) son coprimos, la funcion \(f: G_n \times G_m \rightarrow G_{mn}\) tal que \(f(\alpha, \beta) = \alpha \beta\) es biyectiva.
Encontrar todos los enteros \(0 \leq a \leq 2400\) que son divisibles por \(8\), tales que su desarrollo en base \(7\) tiene al menos 3 digitos iguales.
Hacer inducción para probar la igualdad. Para construir la otra sucesión lo más fácil es seguir la construcción de Fibonacci cambiando los valores de F0 y F1 (yo probé poniendo G0=1, G1=1 y funcionó). La idea es que no tengas que volver a demostrar que vale el resultado.
a) Como es un polinomio en \(\mathbb{Q} [X]\), tenés las raíces \(1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}, 3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}\). Te estaría faltando una raíz: si mirás el coeficiente independiente del polinomio dividido el coeficiente principal, se tiene que este número es el producto de todas las raíces, que a su vez es un número racional. Como el producto de estas 4 raíces, \(1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}, 3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}\), es racional, la quinta raíz debe serlo también:
\(-\frac{{a}_{0}}{{a}_{5}} = {\alpha}_{1}.{\alpha}_{2}.{\alpha}_{3}.{\alpha}_{4}.{\alpha}_{5}\) con \({\alpha}_{i}\) raíz \(\Rightarrow\) \({\alpha}_{5} = \frac{-\frac{{a}_{0}}{{a}_{5}}}{{\alpha}_{1}.{\alpha}_{2}.{\alpha}_{3}.{\alpha}_{4}}\) (esas son las 4 conocidas). Como es cociente de dos números racionales, entonces \({\alpha}_{5}\) es racional.
b) Si \(1+\sqrt{2}\) es raíz, entonces \(1-\sqrt{2}\) lo es. Luego te quedan elegir 3 raíces, pero no pueden ser racionales. Entonces tenés que elegir raíces irracionales o imaginarias. A mi se me ocurre poner un polinomio de la pinta: \({X}^{3}+p\), con p algún primo. Con esto completás el polinomio de grado 5.
Sale usando la definición de mcd (si es que los corchetes representan el mcd), el pequeño teorema de Fermat y el teorema chino del resto.
Bastaría ver que es sobreyectiva y que el dominio y la imagen tienen el mismo cardinal (recordar que en este caso son conjuntos finitos). Había una propiedad que decía que si tenías dos números coprimos positivos \(n, m\)entonces todo elemento de \({G}_{nm}\) se escribía como producto de alguien de \({G}_{n}\) por alguien de \({G}_{m}\).
Observar que el desarrollo en base 7 de números hasta el 2400 tienen 4 dígitos. Entonces tenés 2 casos: 3 dígitos iguales y 1 distinto, o 4 dígitos iguales. Yo lo encararía por ese lado. También podés fijarte cómo es el desarrollo en base 7 de un número divisible por 8 menor a 2400.
a) Como es un polinomio en \(\mathbb{Q} [X]\), tenés las raíces \(1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}, 3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}\). Te estaría faltando una raíz: Si fuese compleja, tendrías su conjugado y ya no puede ser. Si fuese irracional y fuese de la forma \(a+\sqrt{b}\), tendría que tener \(a-\sqrt{b}\) y tampoco puede ser. Luego, queda que fuese \(c+\sqrt[a]{b}, a\geq 3\), pero esto tampoco puede suceder porque tendría que tener "a" raíces más con algún \(\sqrt[a]{b}\) para "compensarlo" y que al multiplicarlas te quede un racional (esto muy informalmente, habría que justificarlo mucho mejor, pero esa es la idea). Entonces sólo te queda que puede ser racional.
Saludos.
Y por qué no podría ser \(1+\sqrt{2}+\sqrt{13}+\sqrt{567}\) una raíz por ejemplo? No lo descartaste con tu argumento.
Lo que podés que usar es que conocés las otra 4 raíces. Llamo \(\alpha\) a la raíz que falta y no conozco.
Usando la relación que hay entre raíces y coeficientes, sabés que \((1+\sqrt{2} )(1-\sqrt{2})(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})\alpha=-{a}_{0} \in \mathbb{Q}\) (el coeficiente de grado 0 del polinomio)
Haciendo las cuentas, tenés que \({a}_{0}=-3 \cdot 12 \cdot \alpha\).
Como \({a}_{0}\) y \(-36\) están en \(\mathbb{Q}\), \(\alpha\) tiene que estar en \(\mathbb{Q}\)
Hacer inducción para probar la igualdad. Para construir la otra sucesión lo más fácil es seguir la construcción de Fibonacci cambiando los valores de F0 y F1 (yo probé poniendo G0=1, G1=1 y funcionó). La idea es que no tengas que volver a demostrar que vale el resultado.
Yo recien sali del recuperatorio del segundo parcial hace un par de dias, y no estoy muy avispado con induccion, pero por lo menos para la parte de hacer induccion, es muy erroneo hacer esto?
Está bien esa resolución. El único comentario es que es para \(n\geq 0\). O sea, tendrías que empezar por los casos \(n=0, n=1\). El paso inductivo está perfecto.
Con seguir la construcción de Fibonacci me refería a dar una sucesión de la forma \({G}_{n+2}={G}_{n+1}+{G}_{n}\), con valores de \({G}_{0}, {G}_{1}\) arbitrarios.
Yo no se si esta del todo bien pero creo que sale asi:
Por Fermat, ya sabemos que \(a^{p-1} \equiv 1 (p) \wedge a^{q-1} \equiv 1 (q)\)
Y como \((a:b)*[a:b] = |ab| \Rightarrow [a:b]=\frac{|ab|}{(a:b)}\)
Entonces: \((a^{p-1})^{\frac{(q-1)}{(p-1:q-1)}} \equiv 1^{\frac{(q-1)}{(p-1:q-1)}}\equiv 1 (p) \Rightarrow a^{[p-1:q-1]} \equiv 1 (p)\)
Si haces lo mismo con la otra ecuacion de congruencia cambiando los (q-1) y (p-1) de lugar te termina quedando:
Edit:lo que yo hice aca con \(\frac{(q-1)}{(p-1:q-1)}\) lo hice sabiendo que el resultado da un numero natural, donde vale que si \(a\equiv b(m) \Rightarrow a^n \equiv b^n (m) \forall n\varepsilon \mathbb{N}\) no funciona con negativos o fracciones, por q se te va de los numeros enteros.
De hecho ojo, por que si fuese mcd no esta bien(o sea, no es congruente a 1 para todo p q primos).
Che, alguien hizo el ejercicio 4 y tiene una demostración? tampoco conozco esa propiedad que dicen por ahí para resolverlo, ¿la podrian demostrar o tirar una idea?
Che, alguien hizo el ejercicio 4 y tiene una demostración? tampoco conozco esa propiedad que dicen por ahí para resolverlo, ¿la podrian demostrar o tirar una idea?
La clave es usar que como \(n\) y \(m\) son coprimos, existen \(r,s \in \mathbb{Z}\) tal que \(1=rn+sm\)
Usando eso y escribiendo con cuidado lo que querés probar sale 🙂
Todavia no mire bien el ejercicio, pero por lo menos la propiedad tiene sentido, mira:
Si \(w \epsilon G_{n}\) y \(z\epsilon G_{m}\)
Como \(w^n = 1 \Rightarrow (w^{n})^{m}= w^{nm}=1 \Rightarrow w\epsilon G_{nm}\)
Lo mismo con z
Entonces si tomamos: \((z*w)^{nm} = z^{nm}*w^{nm}\)
y como verificamos antes entonces \(z^{nm}*w^{nm} = 1*1 = 1 \Rightarrow z*w \epsilon G_{nm}\)
Con eso construis todo \(G_{nm}\)
Edit: ahora si mire el ejercicio, acabo de notar que probe que es suryectiva/sobreyectiva. No se si esta del tooooooodo bien si digo que como n y m son coprimos entonces todas sus raices enesimas son diferentes(con excepcion del 1) y entonces \(\forall c \epsilon G_{nm} \exists! (z,w)\epsilon G_{n}\times%20G_m%20 / z*w = c\) o estoy siendo redundante?
Luego, todo elemento de \({G}_{nm}\) se escribe como producto de alguien de \({G}_{n}\) por alguien de \({G}_{m}\).
Entonces la función es sobreyectiva.
Además, #\({G}_{nm} = nm\) \(=\) #\(({G}_{n}\) x \({G}_{m})\). Luego, la función es biyectiva.
(esto último lo pueden justificar diciendo que se puede definir una inversa biyectiva o bien probando que es inyectiva directamente)
Ejercicio 5
Para empezar, escribimos \(2400\) en base 7. Haciendo cuentas:
\(2400= 6.{7}^{3}+6.{7}^{2}+6.7+6 \, \Rightarrow\) El desarrollo en base 7 de \(0\leq a \leq 2400\) tiene máximo 4 dígitos.
\(\Rightarrow \, a={\alpha}_{1}.{7}^{3} + {\alpha}_{2}.{7}^{2} + {\alpha}_{3}.7 + {\alpha}_{4}\), con \(0\leq {\alpha}_{i} \leq 6 \, \, \forall \, i=1,...,4\) (esto es pues estamos en desarrollo de base 7)
Como \(a\) es divisible por 8 y su desarrollo en base 7 debe tener 3 dígitos iguales, veamos qué sucede si aplicamos estas condiciones:
Supongamos que \({\alpha}_{1}={\alpha}_{2}={\alpha}_{3} \, \, \Rightarrow \, -{\alpha}_{1} + {\alpha}_{2} -{\alpha}_{3} + {\alpha}_{4} \equiv 0 (8)\, \Leftrightarrow \, -{\alpha}_{3} + {\alpha}_{4} \equiv 0 (8) \, \Leftrightarrow \, {\alpha}_{3} \equiv {\alpha}_{4} (8)\)
Luego, como \(0\leq{\alpha}_{i} \leq 6 \, \forall \, i=1,...,4 \, \Rightarrow {\alpha}_{3}={\alpha}_{4}\) (esto último vale por la propiedad de que \(a \equiv b (mod \, c) \Leftrightarrow {R}_{c}(a) = {R}_{c}(b)\) )
Elegimos 3 arbitrarios, pero cualquier otra elección hubiese concluido a lo mismo (el razonamiento es análogo debido a los cambios de signos)
Luego, para que \(a\) sea divisible por 8 y además tenga 3 dígitos iguales en su desarrollo en base 7, debe ser que los 4 dígitos que tiene sean iguales. Como sólo puedo elegir 7 números distintos para el desarrollo en base 7, se tiene que en total hay 7 números enteros \(0\leq a \leq 2400\) que satisfacen ambas condiciones.
A saber, estos son \(a={\alpha}_{1}.{7}^{3} + {\alpha}_{2}.{7}^{2} + {\alpha}_{3}.7 + {\alpha}_{4}={\alpha}_{1}.{7}^{3} + {\alpha}_{1}.{7}^{2} + {\alpha}_{1}.7 + {\alpha}_{1}={\alpha}_{1}({7}^{3}+{7}^{2}+7+1) \, , \, {\alpha}_{1}=0,...,6\)
Si me equivoqué en algo avísenme. Creo que más o menos esas son las ideas.
Me mareo lo q hiciste del cuatro, vos ahí demostraste que todo elemento de \(G_{nm}\) o esta en Gn o Gm?
No me queda muy claro cual es la diferencia exacta con lo que yo hice. Ademas no estoy seguro como probar que es inyectiva :S me re marie ahora xD
Rozen, creo qeu vos lo que probaste no es la sobreyectividad, sino que los elementos de Gn y Gm estan en Gmn
Kevin, gracias por detallar mejor, ahora me queda bastante claro lo que hiciste. Yo estuve pensando y encontre una demostracion de la inyectividad y de la sobreyectividad, pero es mas larga que lo que vos hiciste, despues con mas tiempo trato de escribirla, pero no estoy para nada familiarizado con el Latex.
Me mareo lo q hiciste del cuatro, vos ahí demostraste que todo elemento de \(G_{nm}\) o esta en Gn o Gm?
No me queda muy claro cual es la diferencia exacta con lo que yo hice. Ademas no estoy seguro como probar que es inyectiva :S me re marie ahora xD
Lo que demostré es que es sobreyectiva. Luego usé que el dominio y la imagen tienen la misma cantidad de elementos para deducir que debe ser inyectiva.
Rozen escribió:
Todavia no mire bien el ejercicio, pero por lo menos la propiedad tiene sentido, mira:
Si \(w \epsilon G_{n}\) y \(z\epsilon G_{m}\)
Como \(w^n = 1 \Rightarrow (w^{n})^{m}= w^{nm}=1 \Rightarrow w\epsilon G_{nm}\)
Lo mismo con z
**Entonces si tomamos: \((z*w)^{nm} = z^{nm}*w^{nm}\)
y como verificamos antes entonces \(z^{nm}*w^{nm} = 1*1 = 1 \Rightarrow z*w \epsilon G_{nm}\)
Con eso construis todo \(G_{nm}\)**
Edit: ahora si mire el ejercicio, acabo de notar que probe que es suryectiva/sobreyectiva. No se si esta del tooooooodo bien si digo que como n y m son coprimos entonces todas sus raices enesimas son diferentes(con excepcion del 1) y entonces \(\forall c \epsilon G_{nm} \exists! (z,w)\epsilon G_{n}\times%20G_m%20 / z*w = c\) o estoy siendo redundante?
Fijate que lo único que probaste ahí es que dados dos raíces de la unidad, \(z\in {G}_{m}\) y \(w \in {G}_{n}\), su producto \(zw \in {G}_{nm}\). Esto es justamente lo que hace la función (no hiciste más que mostrar que la función está bien definida)
En tu argumento no estás demostrando que con eso construís todo \({G}_{nm}\). Para ello deberías probar que todo elemento de \({G}_{nm}\) es producto de alguien de \({G}_{m}\) con alguien de \({G}_{n}\), que es justamente demostrar la sobreyectividad.
Lo que te piden es demostrar que es biyectiva. Para ello necesitás probar que la función dada es inyectiva y sobreyectiva.
A veces también podés probar esto por otros caminos, como por ejemplo argumentando que es inyectiva y ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, que podés definir una inversa biyectiva, etc.
Aclaro algo para el 3 por si no se acuerdan la propiedad esa que escribió Rozen, con un poco de razonamiento sale de toque
Minimo común multiplo
Siempre conviene hacer un ejemplo pequeño para saber que carajo es:
$$[6:8] = [2.3:2.4]=2.3.4=24$$
Es decir que:
$$\bullet \ mcm = 24 = 6.4\$$
$$\bullet \ mcm = 24 = 8.3 \$$
\(\bullet \\)Con esto quiero decir que se puede escribir al minimo común multiplo (mcm) como producto de 6 y 8.
Vamos al ejercicio
Después vemos congruencia modulo p y q por separado y asi..., lo importante era ver que el minimo común multiplo se puede escribir como producto de los factores (\(p-1\ y\ q-1\\)), una vez que usamos esta notación el ejercicio resulta mucho más claro. =)
Yo no se si esta del todo bien pero creo que sale asi:
Por Fermat, ya sabemos que \(a^{p-1} \equiv 1 (p) \wedge a^{q-1} \equiv 1 (q)\)
Y como \((a:b)*[a:b] = |ab| \Rightarrow [a:b]=\frac{|ab|}{(a:b)}\)
Entonces: \((a^{p-1})^{\frac{(q-1)}{(p-1:q-1)}} \equiv 1^{\frac{(q-1)}{(p-1:q-1)}}\equiv 1 (p) \Rightarrow a^{[p-1:q-1]} \equiv 1 (p)\)
Si haces lo mismo con la otra ecuacion de congruencia cambiando los (q-1) y (p-1) de lugar te termina quedando:
De hecho ojo, por que si fuese mcd no esta bien(o sea, no es congruente a 1 para todo p q primos)
Una preg, antes de usar fermat, ¿no tenés q saber q p no divide a a y q tampoco?
Porque lo único que dice el enunciado es (a:pq)=1 ( osea pq no divide a a )
PD: Gracias por la explicación del 5 kevin, estaba bien pero pensé q no xD
Teniendo \((a:pq)=1\) eso te demuestra que no puede pasar que \(p|a\) o \(q|a\) por que sino el mcd seria diferente.... o sea, si \(p|a\) pero q no divide a a entonces \((a:pq)=p\) lo mismo si \(q|a\)
a) Como es un polinomio en \(\mathbb{Q} [X]\), tenés las raíces \(1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}, 3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}\).
una pregunta... estuve buscando la argumentación por la cuál uno puede decir que si por ejemplo
\(1 + \sqrt{2} \ es \raiz \ entonces \ 1 - \sqrt{2} \ es \ raiz \ tambien.\) Se que vale, y solo para Q(x), porque recuerdo verlo en la clase practica, pero a decir verdad no encuentro en ningun lado esa demostracion. Alguno me puede decir porque vale, o al menos tirarme una pista? Gracias!
Sea \(p \in \mathbb{Q}[X]\) y sean \(a,b,c \in \mathbb{Q}\) con \(c>0\) y \(\sqrt{c}\not\in \mathbb{Q}\). Si \(a+b\sqrt{c}\) es una raíz de \(p \, \Rightarrow \, a-b\sqrt{c}\) es también raíz de \(p\).
Demostración:
Si \(b=0\) no hay nada que decir.
Si \(b\neq 0\) entonces considero el polinomio \(q=(x-(a+b\sqrt{c}))(x-(a-b\sqrt{c})) = {x}^{2}-2ax+{a}^{2}-{b}^{2}c \, \in \mathbb{Q}[X]\).
Este polinomio es irreducible en \(\mathbb{Q}[X]\) porque tiene grado \(\leq 3\) y no tiene raíces racionales (pues \(b \neq 0\))
Sea \(d=(p:q)\), calculado en \(\mathbb{Q}[X]\). Como \(q\) es irreducible y mónico \(\Rightarrow \, d=1\) ó \(d=q\)
Luego, existen \(r,s \in \mathbb{Q}[X]\) tales que \(d=pr+qs\).
Como \(p(a+b\sqrt{c})=0=q(a+b\sqrt{c})\), entonces \(d(a+b\sqrt{c})=0\), por lo tanto \(d \neq 1\).
Entonces \(d=q\) y \(d|p \, \Rightarrow \, q|p\) y como \(q(a-b\sqrt{c})=0\) \(\Rightarrow \, p(a-b\sqrt{c})=0. \, \blacksquare\)
Sea \(p \in \mathbb{Q}[X]\) y sean \(a,b,c \in \mathbb{Q}\) con \(c>0\) y \(\sqrt{c}\not\in \mathbb{Q}\). Si \(a+b\sqrt{c}\) es una raíz de \(p \, \Rightarrow \, a-b\sqrt{c}\) es también raíz de \(p\).
Demostración:
Si \(b=0\) no hay nada que decir.
Si \(b\neq 0\) entonces considero el polinomio \(q=(x-(a+b\sqrt{c}))(x-(a-b\sqrt{c})) = {x}^{2}-2ax+{a}^{2}-{b}^{2}c \, \in \mathbb{Q}[X]\).
Este polinomio es irreducible en \(\mathbb{Q}[X]\) porque tiene grado \(\leq 3\) y no tiene raíces racionales (pues \(b \neq 0\))
Sea \(d=(p:q)\), calculado en \(\mathbb{Q}[X]\). Como \(q\) es irreducible y mónico \(\Rightarrow \, d=1\) ó \(d=q\)
Luego, existen \(r,s \in \mathbb{Q}[X]\) tales que \(d=pr+qs\).
Como \(p(a+b\sqrt{c})=0=q(a+b\sqrt{c})\), entonces \(d(a+b\sqrt{c})=0\), por lo tanto \(d \neq 1\).
Entonces \(d=q\) y \(d|p \, \Rightarrow \, q|p\) y como \(q(a-b\sqrt{c})=0\) \(\Rightarrow \, p(a-b\sqrt{c})=0. \, \blacksquare\)
Para el 4 hay una inversa
\(f^{-1}:G_{nm} \longrightarrow G_{n} \times G_{m}\) y es \(f^{-1}(\alpha)=({\alpha}^{1-rn},{\alpha}^{1-sm}) \mbox{ con } r,s \in \mathbb{Z} \mbox{ tal que } 1 = rn + sm\) que se que existen porque \((n:m)=1\)
Para el 4 hay una inversa
\(f^{-1}:G_{nm} \longrightarrow G_{n} \times G_{m}\) y es \(f^{-1}(\alpha)=({\alpha}^{1-rn},{\alpha}^{1-sm}) \mbox{ con } r,s \in \mathbb{Z} \mbox{ tal que } 1 = rn + sm\) que se que existen porque \((n:m)=1\)