Encontrar \(f:N\rightarrow{}N\) biyectiva, tal que \(f(n+1)=f(n)+1\)
¿De cuántas formas pueden distribuirse 2m bolitas rojas, 2n bolitas negras y 2r bolitas blancas en tres cajas diferentes, si en cada caja debe haber un número par de bolitas de cada color? (Aclaración: Las bolitas de un mismo color son indistinguibles entre sí).
Este es muy simple, como tengo que ubicar 2k (k=m,n,r) bolitas de a pares y son indistinguibles, es equivalente a pensarlo como k bolitas. Entonces sabien que la cantidad de maneras de ubicar k elementos indistinguibles en n cajas numeradas es:
$$\displaystyle\binom{k+n-1}{k}$$
Entonces, la respuesta es el producto de la combinación de todos los pares de los tres tipos de bolitas en las tres cajas:
\(\displaystyle\binom{m+3-1}{m}\displaystyle\binom{n+3-1}{n}\displaystyle\binom{r+3-1}{r}\)
3. Indicar cuántos múltiplos de 22 hay en la sucesión: 2, 30, 58, 86, ..., 24810
Sea \(w\in{}G_m\) con m par, probar que \((1-w)^m\in{}\mathbb{R}\).
Acá una idea es desarrollar el Binomio de Newton para llegar a que \(z=\overline{z}\) y de esa forma concluir que [texz\in{\mathbb{R}}[/tex].
Sea \(f=3x^5+10x^4+12x^3+3x^2-6x+a\). Determinar los \(a\in{}\mathbb{R}\) para los cuales \((f:x^3+x^2-2)\) es de grado 2. Para los valores hallados de a, factorizar f en \(\mathbb{R}[X]\).
Claro, te dice que el mínimo común divisor entre f y este polinomio mónico es de grado dos. De ahí ya sacás que entonces tienen dos raíces en común, entonces calculandos las raíces de este polinomio de grado tres ya podés factorizar a f con dos de sus raíces...
hola la verdad me ta sirviendo banda pa estudiar esto gracias!
mi pregunta es .. en el 2 no habria que poner primero dos bolitas de cada color en cada caja para asegurarse de que siempre halla una cantidad par de bolitas en cada caja? porque de la forma que lo hiciste vos me parese que si bien el numero de bolitas en cada caja va a ser par podria pasar que en alguna caja huiese cero bolitas no?
Pongo lo que pensé para el 3), a ver si me ayudan a terminarlo.
Me pide indicar cuántos múltiplos de 22 hay en la sucesión 2, 30, 58, 86, ... , 24810.
Bueno, en esta sucesión, cada término suma 28 al anterior. Entonces, todos los términos son múltiplos de 28 aumentados en dos. Como tengo que buscar los múltiplos de 22 en esa sucesión, pensé en \(28x + 2 \equiv 0 \pmod{22} \Leftrightarrow 28x \equiv -2 \pmod{22}\)
Entonces separo
La segunda es trivial, entonces trabajo con \(6x \equiv -2 \pmod{11} \Leftrightarrow 6x \equiv 9 \pmod{11}\)
de donde sale que \(x \equiv 5 \pmod {11}\)
es decir, \(x = 11q + 5 (q \in \mathbb{Z})\)
Y ahora no sé cómo ver cuántos de estos "X" hay en la sucesión...
Ojo que tenes un error en el ultimo paso, el x que te sirve es 7. Despues tenes que ver en la sucesion (que era de la forma 28x+2) cuales son los valores de x correspondientes, por ejemplo para 2 vale x=0 para 30 vale x=1 y asi. Por ultimo tenes que contar cuantos de esos son 7 modulo 11.
miguel- estoy medio fuera de estado con esto de álgebra, pero te digo más o menos lo q me parece:
Te pide que\((f:x^3+x^2-2)\) sea de grado 2, entonces lo primero que hice fue factorizar \(x^3+x^2-2\)
$$x^3+x^2-2 = (x-1).(x^2+2x+2)$$
Entonces \((f:x^3+x^2-2)=(x^2+2x+2)\)
Una vez que sabés esto podés dividir el polinomio que te dan al principio (\(f=3x^5+10x^4+12x^3+3x^2-6x+a\)) por \(x^2+2x+2\), y querés que el resto de esa división te de 0.
Yo lo hice y me da que para que el resto sea 0, tiene que ser \(a=-2\)
Y ahí falta lo de factorizar el polinomio, que te lo piden.
Disculpen que traiga a flote un final un poco viejo.
Tengo un problema con el ejercicio 4. Dijeron por ahi que tenia que desarrollar el binomio de newton y mostrar que w es w conjugado. Pero me trabo en la parte del binomio de newton, porque no se que hacer con los numeros combinatorios.
No tenes que mostrar que \(w=\overline w\). Lo que tenes que demostrar es que \((1-w)^m=\overline{(1-w)^m}\), para concluir que este ultimo numero es real. Para hacer eso conjugas la expresion que tenias con el binomio de newton y operas hasta que vuelvas a lo mismo que tenias al principio.
Buenos dias, bueno, vengo preparandome para el final que van a tomar el viernes y, ya habiendo obtenido un 2 en diciembre 🙁 decidi ponerme las pilas y entender de una maldita vez todo jaja.
El ejercicio que queria consultar es justamente el del binomio de newton.
Paso a dejarles una imagen donde intento resolverlo(soy un pancho con el latex, todavia no le agarre bien la mano, sepan disculparme).
Les parece que es correcto?
Muchas gracias por la lectura y paciencia.
Un saludo, espero paciente una respuesta 🙂
No entiendo el paso de la sumatoria a la igualdad por cada índice del sumando. O sea, vos quisiste decir, "esto es real sí y solo sí se cumplen todas estas igualdades", eso es lo que interpreté. Desarrollaste el término \({(1-w)}^{m}\) con el binomio de Newton y lo mismo para su conjugado, y fuiste planteando que eran iguales sí y solo sí y todo eso que escribiste.
Esto sería lo mismo que venías haciendo, solo que pasé restando y agrupé todo. Lo que creo que hiciste en tu último paso fue decir que \(\forall \, 0\leq k \leq m, \,{(-w)}^{-k} - {(-\overline{w})}^{-k}=0\)
Para justificar este paso, tendrías que probar que
$$\forall , 0\leq k \leq m, , 0 \leq \left(\begin{matrix}m \ k\end{matrix}\right)({(-w)}^{-k} - {(-\overline{w})}^{-k})$$
, pues de otra forma no tiene sentido eso (es decir, que cada término de la sumatoria es no negativo, entonces para que la suma sea 0 tiene que pasar que cada término sea 0)
Si tenés otro argumento que no logro ver decime por favor. De por sí, te recomiendo que justifiques un poco más los pasos y escribas lo que querés probar. Yo soy medio rompebola con esas cosas pero nunca están demás y te permite leerlo y entenderlo más rápido.
No entiendo el paso de la sumatoria a la igualdad por cada índice del sumando. O sea, vos quisiste decir, "esto es real sí y solo sí se cumplen todas estas igualdades", eso es lo que interpreté. Desarrollaste el término \({(1-w)}^{m}\) con el binomio de Newton y lo mismo para su conjugado, y fuiste planteando que eran iguales sí y solo sí y todo eso que escribiste.
Esto sería lo mismo que venías haciendo, solo que pasé restando y agrupé todo. Lo que creo que hiciste en tu último paso fue decir que \(\forall \, 0\leq k \leq m, \,{(-w)}^{-k} - {(-\overline{w})}^{-k}=0\)
Para justificar este paso, tendrías que probar que
$$\forall , 0\leq k \leq m, , 0 \leq \left(\begin{matrix}m \ k\end{matrix}\right)({(-w)}^{-k} - {(-\overline{w})}^{-k})$$
, pues de otra forma no tiene sentido eso (es decir, que cada término de la sumatoria es no negativo, entonces para que la suma sea 0 tiene que pasar que cada término sea 0)
Si tenés otro argumento que no logro ver decime por favor. De por sí, te recomiendo que justifiques un poco más los pasos y escribas lo que querés probar. Yo soy medio rompebola con esas cosas pero nunca están demás y te permite leerlo y entenderlo más rápido.
Saludos.
Si, plantee las igualdades suponiendo que z = conjugado z.
Y son todos si y solo si, en el medio poniendo donde uso que es w es de Gm y que m es par. (estaria mal lo que hice yo?)
Justo me estoy yendo, pero ahora cuando vuelvo en un par de horas veo lo que vos me pusiste. Muchisimas gracias.
Donde pusiste que m es par se entiende bien para qué lo usaste. Lo único que no entendí es la última parte cuando pasastes de las sumatorias a la igualdad de cada término.
