Quizas es mucho pedir pero, hoy se rindio un final, alguien se lo acuerda/ lo tiene?
saludos
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Tema
[Pedido] Final 13/12/2011
Lo encontre, lo dejo adjunto
¿El 1 que onda? ¿Alguien lo hiso?
No lo confirme pero me parece que es algo asi:
Como solo pueden haber 2 clases de equivalencia, (estos elementos deben cumplir reflexividad, simetria y transitividad) es como ubicar n elementos en como maximo 2 "cajas", que serian estas clases de equivalencia, entonces:
\({n+2 \choose n}\)
Eso está mal.
Una idea de como sale:
Con una sola clase hay una relación.
Con dos clases hay \(2^{n-1}-1\) relaciones, porque dar una relación de este tipo es elegir un par de subconjuntos que van a representar a las clases, para elegir un subconjunto hay
\(2^n\) opciones y para el otro una sola (que es el complemento). Después hay que dividir por 2 por una cuestión de orden y restar el caso en el que hay solo una clase porque había elegido al vacío.
Firma
Quimey
Ups... bueno, es bueno saberlo, igual sigo sin entender bien porque dividis por 2.
Y sobre el ej 3b no se como sacarlo 🙁 se que tiene que ver con la raiz quinta de la unidad pero no se como.
Resolución del 3:
a)
Tenes \((x - (w + w^{-1})) (x - (w^{2} + w^{-2}))\)
Haciendo el producto te queda \(x^{2} - (w^{2} + w^{3} + w + w^{4})x + (w + w^{2} + w^{3} + w^{4})\)
Ahora, como \(w \in G_{5}\), se sabe que \(\sum_{i = 0}^{4} w^{i} = 0 \Longrightarrow \sum_{i = 1}^{4} w^{i} + 1 = 0 \Longrightarrow \sum_{i = 1}^{4} w^{i} = -1\)
Y reemplazando en la función, te queda \(f(x) = x^{2} + x - 1\)
b) Sabes por el enunciado que \((w + w^{-1})\) es raíz de f, con \(w \in G_{5}\)
Por otro lado, tenes que \(z = cos(\frac{2\pi}{5}) + i sen(\frac{2\pi}{5}) \in G_{5}\)
Entonces \(z + z^{-1} = z + \overline{z} = 2Re(z) = 2 cos(\frac{2\pi}{5})\) es raiz de f
Despues agarras f y le hallas las raíces, que son \(\frac{-1 + \sqrt 5}{2} y \frac{-1 - \sqrt 5}{2}\)
Y como \(2 cos(\frac{2\pi}{5}) > 0\), y además es raíz, lo igualas a la raíz positiva y despejas
\(cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{-1 + \sqrt 5}{4}\)
Resolución del 4:
Lo pruebo por inducción:
$$P(n): f_{n} = (x - 1)^{2} p(x)$$
$$P(1):$$
$$f_{1} = x^{7} - x^{6} - x^{3} + x^{2}$$
$$f_{1}(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$$
$$f_{1}^{'} = 7x^{6} - 6x^{5} - 3x^{2} + 2x$$
\(f_{1}^{'} (1) = 7 - 6 - 3 + 2 = 0 \Longrightarrow f_{1} = (x - 1)^{2} p(x) \Longrightarrow P(1)\) es V
Paso inductivo:
$$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$
$$f_{n} = (x - 1)^{2} q(x) \Longrightarrow f_{n+1} = (x - 1)^{2} p(x)$$
\(f_{n+1} = (x - 1)f_{n} - x^{n+1} + (n+1)x - n = (x - 1)^{3} q(x) - x^{n+1} + (n+1)x - n\) (HI)
Llamo \(t(x) = - x^{n+1} + (n+1)x - n\)
$$t(1) = - (1)^{n+1} + (n+1) - n = -1 + n + 1 - n = 0$$
$$t^{'}(x) = -(n+1)x^{n} + (n+1)$$
$$t^{'}(1) = -(n+1) + (n+1) = 0$$
$$\Longrightarrow t(x) = (x - 1)^{2} m(x)$$
$$f_{n+1} = (x - 1)^{3} q(x) + (x - 1)^{2} m(x) = (x - 1)^{2}[(x-1) q(x) + m(x)] = (x - 1)^{2} p(x) \Longrightarrow P(n+1) es V$$
Por lo tanto \(P(n) es V\)
¿Alguien me puede tirar alguna ayuda para el 2)? Siempre tuve problemas con los ejercicios de enteros =/
Para el 2 te conviene hacer distributiva y usar fermat!! Y para el b) se te agrega un primo mas que te va a dar las condiciones... creo que ya te tire demasiado jaja cualquier cosa pregunta
Eso es lo que había empezado a hacer. Me queda
\(b = a^{68} + a^{65} - a^{5} - a^{2} \equiv 0 (84)\) que lo puedo separar en:
$$a^{68} + a^{65} - a^{5} - a^{2} \equiv 0 (7)$$
$$a^{68} + a^{65} - a^{5} - a^{2} \equiv 0 (3)$$
$$a^{68} + a^{65} - a^{5} - a^{2} \equiv 0 (4)$$
El problema es que con el modulo 4 no puedo usar fermat porque 4 no es primo, y además no lo puedo descomponer en \(a^{68} + a^{65} - a^{5} - a^{2} \equiv 0 (2)\)
pero podes usar la generalizacion de fermat
$$a^{(p-1)*p^{n-1}} \equiv 1 (p^{n})$$
Ah mira vos no la conocía esa formula. Gracias!
EN EL 5) POR GAUSS SALE UNA RAIZ Y DESPUES LAS RAICES SEXTAS PRIMITIVAS DE LA UNIDAD SON DOS(SON FACILES DE VER) Y UNA ES LA CONJUGADA DE
LA OTRA POR LO QUE LA UNICA OPCION ES QUE AMBAS SEAN RAICES DEL POLINOMIO. DIVIDIMOS Y QUEDA UN POLINOMIO DE GRADO 2.DESPUES ES FACIL FACTORIZAR