1. Encuentre todos los \($n \in \mathbb {N}$\) tales que \(3^{n} \equiv n\ (mod\ 7)\).
2. Pruebe que la relación \($R \subset P(\mathbb{N})$\) x \($P(\mathbb{N})$\), definida por \(ARB\) si y sólo si \(A \bigtriangleup B\) es finito, es de equivalencia.
3. Pruebe que, para todo \(n \in \mathbb {N}\), \(2^{n} \leq \binom{2n}{n} \leq 2^{2n}\).
4. Sean \(n\) y \(m\) dos números naturales. (a) Pruebe que \(G_{n} \cap G_{m} = G_{(n:m)}\). (b) Calcule el máximo de los comunes divisores de \(X^{n} - 1\) y \(X^{m} - 1\)
5. Encuentre todos los \(a \in \mathbb{C}\) para los que el polinomio \(9X^{2n} + aX^{n} + 25\) tiene una raíz múltiple y, para cada valor de \(a\) hallado, determine la multiplicidad de cada una de las raíces del polinomio correspondiente.
a ver,
ayudame con la inclusión fácil primero jeje
si \(w \in G_{(n:m)} \Rightarrow w^{(n:m)} = 1 \Rightarrow w^{nr+sm} = 1 \Rightarrow (w^{n})^{r} * (w^{m})^{s}=1 \Rightarrow w \in G_{n} \wedge w \in G_{m}\)
Eso me lo contaron y aca intenté ponerlo, pero el paso en que cambio (n:m) por nr+sm no tengo idea como justificarlo, y ni se si sale asi 😛, y el último paso no parece muy claro tampoco..
Respecto de tu consejo, no se a que caraterizacion te referis.. tal vez a algo relacionado a nr+sm?? Algoritmo de división?
Y para el otro lado me imagino que será
\(si w \in G_{n} \wedge w \in G_{m} \Rightarrow w^{n}=1 \wedge w^{m} = 1 \Rightarrow w^{n}*w^{m}=1 \Rightarrow w^{n+m}=1\) y ahí me parece q ya metí la pata, o no se como seguir.
Me pordrías guiar un poco más ??
El b tampoco me sale, hago agua con divisibilidad y raices de 1 :S
Desde ya muchas gracias por la ayuda y haber respondido.
Se que \(w \in G_{(n:m)}\). Escribiendo esto de otra forma:
\(w^d=1\) para \(d=(n:m)\),
además por definición de mcd:
\(d|n\), o sea que existe \(a\) tal que \(n=da\),
\(d|m\), o sea que existe \(b\) tal que \(m=db\).
Eso es todo lo que sabemos. Ahora queremos demostrar, por ejemplo, que \(w\in G_n\). Dicho de otra forma
*\(w^n=1\).
Recapitulando: sabemos 1), 2) y 3), queremos probar *. Para probar una igualdad empiezo con uno de los lados y trato de llegar al otro siempre conservando la igualdad.
\(w^n=w^{da}\) usando la propiedad 2. Luego:
\(w^n=w^{da}=(w^d)^a\). Ahora uso la propiedad 1:
\(w^n=w^{da}=(w^d)^a=1^a=1\) como queriamos probar.
Muchas gracias
a ver me chekeasla otra inclusion entonces ?
se que
1)\(w \in G_{n} \Rightarrow w^{n}=1\)
2)\(w \in G_{m} \Rightarrow w^{m}=1\)
3)\(mcd(n,m) = (n:m) = d\) y por propiedades de algo de division ?? lo puedo escribir como \(d=nr+ms\) para algun r y s
Lo que quiero demostrar:
*\(w^{d}=1\)
Entonces
por 1) y 2) puedo decir
$$w^{n}*w^{m}=1*1$$
y como 1^{x} = 1 para todo x, tomo s y r tales que nr+ms = d
$$(w^{n})^{r}*(w^{m})^{s}=1^{r}*1^{s}$$
por propiedades de los exponentes
\(w^{nr+ms} = 1 \Rightarrow w^d = 1\) Listo..
Que dicen :S ?
Muchisimas gracias desde ya por la ayuda y la paciencia.
y el punto b me dijeron que sale "chamuyando" lo siguiente.
El mcd de 2 polinomios r y s es un polinomio d monico tal que d tiene las raices que comparten r y s. Y como las raices de \((X^n)-1\) son todos los \(x \in G_{n}\) y lo mismo con el otro, las raices que comparten son las que estan a la vez en \(G_{n}~y~G_{m}\) que por lo demostrado en le punto a) es lo mismo que los \(x \in G_{(n:m)}\)
5. Encuentre todos los \(a \in \mathbb{C}\) para los que el polinomio \(9X^{2n} + aX^{n} + 25\) tiene una raíz múltiple y, para cada valor de \(a\) hallado, determine la multiplicidad de cada una de las raíces del polinomio correspondiente.
Seguro faltan algunos detalles pero ésta es la idea:
Sea \(f(x) = 9*X^{2*n} + a*X^{n} + 25\)
Y sea \(g(t) = 9*t^{2} + a*t + 25\) con \(t = X^{n}\)
Ahora encontrar \(a\) es mucho mas fácil.
Usamos la fórmula clásica: \(\frac{-a +- \sqrt[2]{a^2 -4*9*25}}{2*9}\)
Luego: \(\frac{-a +- \sqrt[2]{a^2 -900}}{18}\)
Como el enunciado pide que sea raíz múltiple entonces, el polinomio derivado también debe compartir al menos una raíz con \(g\).
$$g'(t) = 18*t + a = 0 \Rightarrow t = \frac{-a}{18}$$
Volvemos arriba y trabajos un poco las ecuaciones: \(\sqrt[2]{a^2 -900} = 0\), luego \(|a| = 30\)
Ahora nos quedan 2 polinomios:
$$g_{1} = 9*t^{2} + 30*t + 25 = (3*t + 5)^2$$
tiene una raíz doble en \(t = \frac{-5}{3}\)
$$g_{2} = 9*t^{2} - 30*t + 25 = (3*t - 5)^2$$
tiene una raíz doble en \(t = \frac{5}{3}\)
Bueno, volvamos al polinomio original. Ahora tendremos 2 polinomios:
Lo pensé parecido pero cambié lo que me remarcaste:
Sea \(f(x) = 9*X^{2*n} + a*X^{n} + 25\)
Y sea \(g(t) = 9*t^{2} + a*t + 25\) con \(t = X^{n}\)
Ahora encontrar \(a\) es mucho mas fácil.
Para que el polinomio \(g(t) = 9*t^{2} + a*t + 25\) tenga una raíz doble el discriminante de la fórmula cuadrática debe ser cero, o sea \(a^2 -4*9*25 = 0 \Rightarrow a^2 = 900\)
Como \(a \in \mathbb{C}\) a dicho número complejo lo puedo escribir como \(a = c + b*i\) con \(c, b \in \mathbb{R}\)
una cosa sobre la resolución.
a mi tmb me había quedado que las raices de f eran todas las raices nsimas de 5/3, pero eran raices dobles de f [aca no quiero decir q eran de multiplicidad 2, sino que eran dobles, tal como -1 es raiz doble de (x+1)(x+1) ] al derivar f queda con las mismas raices, sí, PERO ya no son dobles en la derivada, o sea que la mitad de las raices de f son tambien raices en f, por lo que mi respuesta sería que las raices n-simas de 5/3 son a la vez de multiplicidad 1 y de multiplicidad 2. Se entiende lo que digo? alguno coincide conmigo ? tiene logica ? jaja
@pola: La multiplicidad se define (por ejemplo) como la cantidad de veces que tenes que derivar para que deje de ser raíz, en el caso de \((x+1)^2\) es 2.
@ecoronel: Ahora está mejor, te sigue faltando justificar por que son equivalentes que g tenga raíces simples y que f tenga raíces simples.
Gentee no puedo probar que la relacion del ejercisio dos se transitiva para concluir que es de equivalenciaa. Por favor si alguien puede darme una mano, gracias !