Hallar (y probar) una fórmula para el término general de la sucesión \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) definida por la siguiente relación:
$$a_5 = 22, a_{n+1} = a_n + n a_1, \forall n \in \mathbb{N}.$$
Ejercicio 2.
a) ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 19 bolitas indistinguibles en 4 cajas distintas si alguna de las cajas debe tener al menos 10 bolitas?
b) Determinar la candidad de números naturales menores que 10000 tales que la suma de las cifras de su desarrollo decimal es 19.
Ejercicio 3.
Hallar el resto de dividir \(3^{3^{10}}\) por 76.
Ejercicio 4.
a) Hallar la forma trigonométrica de cada una de las raíces del polinomio \(x^6 + x^3 + 1.\)
b) Determinar el mínimo \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(\omega \in G_n\), para cada raíz \(\omega\) hallada en a).
Ejercicio 5. Factorizar el polinomio \(x^6 - 6x^5 + 14x^4 - 8x^3 - 14x^2 + 10x + 7\) sobre \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\) sabiendo que tiene dos raíces múltiples \(\alpha\) y \(\beta\) tales que \(\alpha + \beta = 1\) y \(\alpha\beta = -1.\)
Hice el 3, 4 y 5 más la parte a) del 2, que era papa.
Estuve más de una hora intentando sacar la fórmula, andaba re cerca pero no llegaba a dar del todo. Al final era \(n^2 - n + 2\). Después probarla por inducción era una boludez atómica.
Para la parte a) primero elegís una caja \(\binom{4}{1}\) y a esa le ponés 10. Después tenés que repartir 9 bolitas en 4 cajas. Es la formulita \(\binom{9 + 4 - 1} {9}\).
Para la b) hay que pensarlo como cajas indistinguibles en cajas numeradas. Donde las cajas son los lugares de las cuatro cifras del número, y la cantidad de bolitas es la cifra, con la excepción en que hay 10 o más bolitas en una sola caja. Oooooohhh casualidad !! son los casos de a). Queda: \(\binom{19 + 4 - 1} {19} - \binom{4} {1} \binom{12} {9}\)
Hay que tomar congruencia módulo 76 y separarlo en módulo 4 y módulo 19. Para la parte módulo 4 usás que \(3 \equiv -1 (4)\) y para la parte módulo 19 usás PTF.
a) Lo que hice fué llamar \(z = x^3\). Te queda un polinomio de grado 2 con raíces complejas, las igualás a \(\omega^3\) y después igualás módulo con módulo y argumento con argumento. Eran todas de módulo 1 y los argumentos eran: \({2\pi}/9\), \({4\pi}/9\), \({8\pi}/9\), \({10\pi}/9\), \({12\pi}/9\), \({16\pi}/9\)
b) Era 9 el mínimo, no supe bien como justificarlo del todo, pero se veía.
Jugando con los datos de las raíces \(\alpha + \beta = 1\) y \(\alpha\beta = -1\) sacás que, por ejemplo \(-\beta^2 + \beta + 1 = 0\) Este polinomio de raíces irracionales dividía dos veces al que te daban. Luego de hacer la división te quedaba uno de grado dos con dos raíces complejas.
hola, el primero me dio igual que a vos lo puse asi n(n-1) + 2
el tercero el resto me dio 59
el cuarto la parte a) igual me dio los mismos argumentos la b no la pude justificar
el quinto me quedo el polinomio que dividia x*2 - x - 1 no como el que pusiste vos, me parece que te confundiste en el tipeo, despues te quedaba este polinomio dos veces iguales y despues 2 raices reales -1/2 + raiz 5/2 y la conjugada
para el 1 me dio distinto.. lo probe y me dio bien sin problemas.. puede ser que estén los dos bien igual..
$$a_n=2+\sum_0^n 2i$$
(es 2 más la sumatoria desde 0 hasta n de 2*i.. no se como poner el sumatoria en TEX todavía)
el 4)a) me dio lo mismo que vos
el 2)a) me dio distinto.. yo hice 4 casos, repartiendo 9 bolitas en las 4 cajas después de haber dejado 10 bolitas en la primera o la segunda o la tercera o la cuerta..
el 3 parece que lo hicimos igual.. habria q ver la segunda parte de modulo 19 como la hicimos..
La fórmula del 1 salía cuando tratabas de sacar \(a_1\), creo que por eso te daban \(a_5\), para ayudarte a deducir la fórmula general. Si lo dejabas todo expresado en sumas de \(a_1\) te quedaba la suma de 1 hasta n y un + 1 suelto al final. Todo multiplicado por \(a_1 = 2\). Y con eso salía, porque te quedaba \(a_n = 2 (1 + \sum_1^{n-1} i) = 2 (1 + (n-1)n/2) = 2 + (n-1)n = n^2 - n + 2\). Y como ya dijeron, probarlo por inducción era trivial.
El 2 ya lo resolvieron, en la parte b si no te dabas cuenta de que había que usar la a era un re quilombo (yo no me dí cuenta y no llegué a hacerlo).
El 3 al final daba resto = 75.
La demostración del 4) b) no era tan trivial. Primero hay que decir que \(n=9\) satisface que las raices pertenecen a \(G_n\) porque todos los módulos son 1 y todos los argumentos son \(2k \pi /9\). Hasta ahí todo bien. Pero después demostrar que es mínimo se me complicó, al final me terminó saliendo por absurdo. Suponiendo que hay un \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(n < 9\) y las raíces pertenecen a \(G_n\), escribiendo \(16 \pi /9 = 2k \pi / n\) con \(k \in \mathbb{Z}\) te queda \(8n/9 = k\), y como \((8:9)=1\) la única forma de que \(k \in \mathbb{Z}\) es \(9|n\) lo cual es una contradicción.
El 5 ya dijeron una forma. La otra era usar las relaciones entre los coeficientes y las raíces, que te ahorraba tener que dividir.
Tengo problemas con el ejercicio 5) no sé si hay algo que no consideré o que.
Al querer dividir el polinomio del enunciado por \(x^2-x-1\), para hallar las otras raices, me encuentro con que el resto no es igual a cero.
Si alguien me puede aclarar esto se lo agredecería.
Tengo una consulta respecto al 3), seguramente es una pavada, pero no veo cómo usar el PTF en el caso de la congruencia módulo 19... o sea, se lo que dice el PTF pero no veo cómo me ayuda en ese caso.... Gracias!
Perdón, no entendí como se resuelve el 4.. Alguien me podría explicar? Gracias!
Tenés el polinomio \({x}^{6}+{x}^{3}+1\) y te piden que halles la forma trigonométrica de todas sus raíces.
Como tiene grado 6, tiene 3 raíces. A simple vista no podés sacar alguna raíz. Pero el truco consiste en llamar \(y={x}^{3}\) y reemplazar.
Entonces te queda el polinomio \({y}^{2}+y+1\), del cual podés hallar las raíces fácilmente.
Llamemos \({\alpha}_{1}, \, {\alpha}_{2}\) a estas raíces que encontramos. Estas raíces NO son las del polinomio original, pero sabemos que si hacemos \({x}^{3}={\alpha}_{1}\) ó \({x}^{3}={\alpha}_{2}\) esto me anula el polinomio.
Entonces todo lo que resta hacer es despejar \(x\) y obtener las raíces. Para ello observamos que \({x}^{3}={\alpha}_{1}\) tiene 3 soluciones en los complejos y lo mismos para \({x}^{3}={\alpha}_{2}\). De esta forma obtenemos las 6 raíces que necesitamos.
Para la parte b) lo que hay que hacer es buscar el mínimo \(n \in \mathbb{N}\) tal que si \(w\) es raíz del polinomio entonces \({w}^{n}=1\) y \({w}^{k} \neq 1 \, \forall k \in {\mathbb{N}}_{<n}\)
Una observación es que si multiplicás al polinomio original por \({x}^{3}-1\) te queda \(({x}^{6}+{x}^{3}+1)({x}^{3}-1)={x}^{9}-1\), por lo que si \(w\) era raíz de \({x}^{6}+{x}^{3}+1\), entonces \(w\) es raíz de \({x}^{9}-1\), lo que implica que \({w}^{9}-1=0 \, \Leftrightarrow \, {w}^{9}=1\), por lo tanto el candidato para cada raíz es \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(n \leq 9\).
Había una propiedad que te decía que, dados \(n,\, m \in \mathbb{N}\, \Rightarrow \, {G}_{n} \cap {G}_{m} = {G}_{(n:m)}\)
Te dejo esta parte para vos, si no te sale la vemos. Espero haber sido claro.
No se si del ejercicio 4, el \(b)\) se puede justificar haciendo el \(a)\) de manera distinta.
Andá a saber por qué pero lo primero que se me ocurrió no fue el cambio de variable para la cuadrática, sino usar:
(llamo \(x=w\) para que se vea mejor para donde voy)
Puedo escribir el polinomio como \(w^6 + w^3 + w^0 = \sum_{k=0}^{2}w^{3k} = \sum_{k=0}^{2}(w^3)^k = {{(w^3)^{2+1} - 1} \over {w^3 -1}} = {{w^9 - 1} \over {w^3 -1}}\) ya que \(w \ne 1\) no sirve como solución, uso la fórmula de la geométrica como está marcado.
Luego quiero ver cuando se hace 0, sin que el denominador lo sea, por lo cual las soluciones son todas las de \(w^9 = 1\) sin las de \(w^3 = 1\) por lo tanto son las \(w \in G_9 \wedge w \notin G_{(3:9)} \Leftrightarrow w \in G_9 \wedge w \notin G_3.\)
Y bueno luego de ahi salen todos los argumentos de cada \(w\) como dijeron más arriba, pero ya con esto se puede decir que el mínimo que pide en \(b)\) es 9?
4 b) claramente todos pertenecen a \(G_9\). Pero \(G_n\) esta incluido en \(G_m\) si n divide a m. Entonces \(G_3\) es el unico que esta inlcuido en \(G_9\) y hay que chequear que no haya uno que este entre los que tenemos
\(G_3\) tiene como argumentos \(0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\)
Como estos no son los nuestros, y solo 3 divide a 9, no hay ningun otro \(n<9\) para que alguno pertenezca a \(G_n\).
No se si me explico, y/o esta bien. (ademas no se usar Latex)