Estoy preparando el final del algebra y queria saber si alguien me puede decir como hacer este ejercio, muchas gracias
1)Calcule el resto de de
\({5+3x^{6623}+x^{3125}-2x^{6168}+x^{3027}+2x^4+x^{3805}+x^{4751}+2x^{6901}-x^{6467}}\) por \({1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6}\)
Creo que tengo que usar que las raices del polinomio por el cual divido son las primitivas de \({G_7}\) pero no se que es lo que tengo que hacer
Y otro que dice
Encuentre el resto de dividir por \({21}\) la suma de los divisores positivos de \(3^{22}5^{33}\) no se como hacerlo tampoco, se como calcular la suma de los divisores pero me queda una fracción y no se que hacer
Para el primero
Tenes que usar el hecho de que \(p|q\) si y solo si toda raíz de p es raíz de q con una multiplicidad mayor o igual. Es decir, agarras una raiz septima de 1 y reemplazas en el otro polinomio a ver si da 0 o no.
Para el segundo
Si no me equivoco el denominador es 8 que es inversible modulo 21, calculas el numerador y despues lo multiplicas por la inversa de 8 (que es 8).
En el 1) lo que hice fue escribir las \({x}\) como potencias de 7 ya que \({x^7=1}\) cualquiera sea la raiz, despues use que \({1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6=0}\) para cualquier raiz, y después me queda que \({2x^4+4}\) y si reemplazo en eso con cada raiz no me da 0. Igualmente no se como me sirve eso para encontrar el resto de dividir al polinomio.
Para el segundo no entendi lo que me pusiste, la suma de los divisores da, \(\frac{3^{23}5^{34}-3^{23}-5^{34}+1}{8}\) y no se que hacer, si podes explicarme como, seguir en los 2 casos te lo agradesco, sino no hay problema
Tengo dos ejercicos teóricos, y no se como probarlos, a ver si me pueden ayudar a empezar.
Sea A un conjunto finito no vacío. Probar que la cantidad de subconjuntos de A de cardinal par es igual a la cantidad de subconjuntos de A de cardinal impar
Probar que si tres números en \(\mathbb{C}\) no nulos suman 1 y sus inversos también suman 1, entonces al menos uno de eso tres es 1.(Sug: determinar como puede ser un polinomio mónico que tengo a los tres númeron por raíces)
Me serviría que me ayuden con el 1) a mi también. Si fuese la divisibilidad, es fácil de plantear, pero como no es divisible, nosé.
Qué hago sabiendo cuáles son las raíces del segundo polinomio?
Osea, si no fuera así, se me ocurre que simplemente con el algoritmo de división, lo planteás, y como entre cada una de las potencias del polinomio, lo que te va quedando no cambia mucho, lo podés sacar "a mano".
Osea, cuando hacés la primer cuenta, digamos que el x a la potencia más alta en el polinomio es \(x^k\), entonces el cociente es \(x^{k-6}\) y lo que te sobra es \((-1).(x^{k-1}+x^{k-2}+x^{k-3}+x^{k-4}+x^{k-5}+x^{k-6})\) (y el resto del polinomio original) y cuando hacés el siguiente paso se te cancelan todos los términos y te sobra \(x^{k-7}\) entoncés si siguieras se deduce que eventualmente te va a quedar k módulo 7, (sin pasarse del siguiente \(x^{k_2}\)). Y ahí volvés a plantear a ver como se comporta ahora (que se me ocurre que también podrías sacarle una formula así, por la forma del polinomio por el cual estás dividiendo).
En teoría, así debería salir, aunque no es de lo más lindo, así que se me ocurre que debe haber una manera mucho más fácil. Ideas?
Sea\(f\) el polinomio del enunciado y \(g\) el divisor. La idea es que \(x^7 \equiv 1 (g)\)
Entonces tomás congruencia \(g\) a \(f\).
Estuve pensando un poco más esta idea, así que aprovecho para desarrollarla un poco más:
Como \(g=1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\) entonces \(g\) tiene 6 raíces y son las raíces primitivas de 7, que son 6.
Sea \(w_i \in G_7, 1\leq i < 7\), las raíces primitivas de 7. Entonces
$$g=(x-w_1)(x-w_2)(x-w_3)(x-w4)(x-w5)(x-w6)$$
Notar que \(g(w_i)=0\)
Por otra parte \(x \equiv w_i (x-w_i)\) \(\Longrightarrow x^7 \equiv 1 (x-w_i)\), para cada \(w_i, tal \:\:que\:\: 1 \leq i <7\)
Entonces, por el teorema del resto, se cumple que \(x^7 \equiv 1 (g)\). Como en el teorema chino del resto.[/tex]
Yo también pensé en agarrar congruencias, pero congruencias de polinomios me hace doler la cabeza :/
No entiendo bien lo que decís al final. Estás diciendo que por el teorema chino del resto, como tenés:
\(x^7 \equiv 1 \hspace{6mm}mod(x-w_i)\) para todo \(w_i \in G_7, 1\leq i < 7\) Es decir
$$x^7 \equiv 1 \hspace{6mm}mod(x-w_1)$$
$$x^7 \equiv 1 \hspace{6mm}mod(x-w_2)$$
...
$$x^7 \equiv 1 \hspace{6mm}mod(x-w_6)$$
Entonces por TCR vale que \(x^7 \equiv 1 \hspace{7mm} mod[(x-w_1)(x-w_2)(x-w_3)(x-w_4)(x-w_5)(x-w_6)]\) ?
Y por ultimo "simplifico" los \(x^7\) en el polinomio original y lo que queda sería el resto no? O te entendí mal?
Por que a mí se me había ocurrido también que, si sabemos cuanto vale \(f(w_i)\), sabemos entonces el resto de dividir a \(f\) por \((x-w_i)\) y con eso te armás un sistemita de ecuaciones como en los ejercicios de parcial, pero no lo escribí así que no se si te quedaría lindo. En primera instancia como supongo que el resto va a tener numeros al menos reales, supongo que si escribieras \(w_i\) en cada ecuacioncita podrías ahorrarte tenes que trabajar con los complejos pero bueno, ciertamente sale infinitas veces más fácil si lo mirás como congruencia. Lo que quiero saber es si te entendí bién y esta bién lo que dije jaja.
Sí, quise poner lo del teorema chino del resto para hacer una analogía con el teorema del resto para polinomios (esto lo saqué del libro de Susana Puddu), pero al final terminó confundiendo. El TCR es para enteros, pero la idea era comparar que era parecido el procedimiento.
Lo voy a escribir como corresponde. Por el algoritmo de la división
\(f = g.q + r\), y por el teorema del resto, el resto de dividir a \(f\) por \(x-a\) es \(f(a)\)
$$f = (x-a).q + r \Longrightarrow f(a) = 0.q + r \Longrightarrow f(a) = r$$
Volviendo al ejercicio...
\(f = (x-w_1)(x-w_2)...(x-w_6).q + r\), con \(q,r \in \mathbb{C}[X]\)
Luego, el resto de dividir a \(f\) por \(x-w_i\) es \(f(w_i)\)
A mi se me ocurre que sí tiene sentido lo del TCR pero que en general, para polinomios no tiene utilidad, porque aún si tenés módulos primos, encontrar la soluciones de cada congruencia te puede llevar mucho tiempo.. En partícular, si salvo el módulo, todas las congruencias son iguales, digamos.
$$x^b \equiv a \hspace{6mm} (p_1(x))$$
$$x^b \equiv a \hspace{6mm} (p_2(x))$$
$$...$$
$$x^b \equiv a \hspace{6mm} (p_n(x))$$
Notemos que como los módulos son primos, entonces \(x^b-a\) contiene las raíces de \(p_i\), porque es divisible por él (Quizás habría que hacer alguna aclaración que me estoy pasando por alto, pero se entiende), si suponemos que \((p_i:p_j)=1\) para todo \(i\) distinto de \(j\) entre 1 y n; es decir, que son coprimos dos a dos, entonces no comparten ninguna raíz entre ellos, por lo tanto \(x^b-a\) contiene a todas las raíces de \(p_1.p_2...p_n\), lo cual implica que es divisible por \(p_1.p_2...p_n\) o dicho de otro modo, \(x^b \equiv a \hspace{6mm} mod(p_1.p_2...p_n)\).
De todos modos no sé si podrías llamarlo teorema chino del resto, es más bien una conclusión de las congruencias, pero no parece incorrecto (y efectivamente llega al mismo resultado).
En efecto, ya había aclarado que \(r \in \mathbb{K}[X]\)
El argumento fuerte que usamos es que el resto va a ser siempre el mismo para cada \(w_i\) porque en todos vas a tomar la misma congruencia \(x^7 \equiv 1 \:\: (x-w_i)\).
Gracias quimey... sería mucho pedir que pases por el último que posteé de las prácticas? El de complejos, no más decí si está bien o mal xD graaacias 😄
Entiendo que se toman las 6 raices de g, pero porque vale:
\(x \equiv w_i (x-w_i)\) \(\Longrightarrow x^7 \equiv 1 (x-w_i)\), para cada \(w_i, tal \:\:que\:\: 1 \leq i <7\)
y puedo hacer el cambio para que me quede \(x^7 \equiv 1 (g)\)?
tu otra pregunta:
si \(a\equiv b (c)\) entonces para todo n \(a^n\equiv b^n (c)\). Si no me equivoco esta en la practica, y si no esta se demuestra por induccion en dos patadas.
Yo pensé en otra solución que no se si estará bien pero me pareció un poco mas simple
\(F(x) = P(x)Q(x)+R(x)\)
La cuestión es que hacer la division por el polinomio que nos dicen es un bardo asi que usamos que \(x^7\equiv 1 (x^7-1)\)
Y además conocemos un dato importante que es lo que vamos a usar mas adelante y es que \(x^7-1= (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1+1)(x-1)\)
Hacemos todas las operaciones que son un pijazo pero bueno... yo las omito.
Finalmente nos queda un poliniomio:
$$F(x) = (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1+1)T(x)+R(x) \hspace{5ex} con \ \ T(x) = Q(x)(x-1)$$
Que se parece un poco mas a lo que queremos, pero sabemos que en este caso puede ser que \(grad(R(x)) < 6 \ \\) y esto no estamos seguro de que se cumpla ya que usamos congruencia con un polinomio de grado 7.
Ahora ponga la resolución posta del ejercicio sin lo teórico OJO que le pude haber re pifiado en als cuentas 😛
La idea es plantear por ejemplo para \(x^{6476}= x^{7(923)+6} \equiv x^6 (x^7-1)\)
Hacemos esto con todos los terminos de la suma y a mi me quedó esto:
\(P(x) \\)es el polinomio original que tiene los terminos elevados a la 10mil millones
$$P(x) \equiv x^6+x^5+x^4+2x^3+x^1+5 \ mod \ (x^7-1)$$