En este final me piden demostrar que
$$\sum_{1}^{2^n} \frac{1}{i} > \frac{n}{2} \, \forall n \in \mathbb{N}$$
Bueno, la pregunta sería la siguiente. Después de hacer inducción y algunos cambios de índice, llego a que
$$P(n+1): \sum_{1}^{2^n} \frac{1}{i}+ \sum_{1}^{2^n} \frac{1}{2^n + j} > \frac{n+1}{2}$$
Que se limitaría a demostrar, por Hipótesis Inductiva y resolviendo la inecuación, que
$$\sum_{1}^{2^n} \frac{1}{2^n + j} > \frac{1}{2}\,\, I)$$
Y la pregunta del millón es... ¿Puedo resolver esto tomando \(2^n = n\) de manera tal que si pruebo que
\(\sum_{1}^{n} \frac{1}{n+j} > \frac{1}{2}\,\, II)\) es verdadero para todo \(n>1\) entonces sea verdadero en particular para los naturales de la forma \(2^n\, / \,n>1\) y luego probar el caso \(n=1\) aparte??
teniendo en cuenta que en \(I), n=1\) verifica la desigualdad.
Gracias ^^