Subo el final que me tomo ayer Jorge Guccione.
$$$1) Sea $ R\subset P(\mathbb{Z}) X P(\mathbb{Z}) $ la relacion definida por: $$$
$$A R B \Leftrightarrow \{ 1, 2, 4 \} \cap \left( A \bigtriangleup B \right) = \emptyset$$
Demostrar que R es de equivalencia
\($ R $ es de equivalencia $ \Leftrightarrow $ R es reflexiva simetrica y transitiva. $\)
$$\bullet A \bigtriangleup A = ( A \cup A ) \backslash ( A \cap A ) = A \backslash A = \emptyset$$
$$\Rightarrow \{ 1,2,4 \} \cap (A \bigtriangleup A) = \{1,2,4 \} \cap \emptyset = \emptyset$$
$$\Rightarrow ARA$$
$$\bullet \{ 1,2,4 \} \cap ( A \bigtriangleup B ) = \{ 1,2,4 \} \cap [ ( A \cup B ) \backslash (A \cap B ) ] =\{ 1,2,4 \} \cap [ ( B \cup A ) \backslash (B \cap A ) ] = \{ 1,2,4 \} \cap (A \bigtriangleup B )$$
$$\Rightarrow ARB$$
$$$ $\bullet $Quiero ver que si ARB y BRC entonces ARC.$$$
$$$ Voy a probar primero que $ (A \bigtriangleup C) \subset (A \bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup C)$$
$$$ Sea x $ \in (A \bigtriangleup C) \Rightarrow x\in A $ o $ x \in C$$
$$$Si x $ \in A $, luego $ x\in B $ o $ x \notin B$$
$$$Si x $ \in A $, $ x\in B $ y $ x \notin C \Rightarrow x\in B \bigtriangleup C \Rightarrow x \in (A \bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup C)$$
$$$Si x $ \in A $ y $ x \notin B \Rightarrow x \in A \bigtriangleup B \Rightarrow x \in (A \bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup C)$$
$$$Si x $\in C $ la demostracion es analoga $$$
\(\Rightarrow \{1,2,4\} \cap (A\bigtriangleup C) \subset \{1,2,4\} \cap [ (A \bigtriangleup B) \cup (B\bigtriangle C) ] = [\{1,2,4\} \cap (A\bigtriangleup B) ] \cup [\{1,2,4\} \cap (B\bigtriangleup C) ] = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset\)
$$$3) Sea z $ \in {G}_{{3}^{n}} $. Hallar los posibles resultados de: $$$
$$({z}^{3} - 1) \sum_{i=1}^{ {3}^{n-2} -1 } {z}^{3i}$$
\(({z}^{3} - 1) \sum_{i=1}^{ {3}^{n-2} -1 } {z}^{3i} = ({z}^{3} - 1) \sum_{i=1}^{ {3}^{n-2} -1 } {({z}^{3})}^{i} = ({z}^{3} -1 ) \frac{{({z}^{3})}^{{3}^{n-2}} - 1}{{z}^{3} - 1} = {z}^{{3}^{n-1}} - 1\)
$$$ Si tomo argumento: $ \Rightarrow arg( {z}^{{3}^{n-1}} ) = {3}^{n-1} \frac{2q\pi}{ {3}^{n} } = \frac{2q\pi}{3} $ con q $ \in \mathbb{Z}$$
$$$ $ \Rightarrow {z}^{{3}^{n-1}} \in {G}_{3} \Rightarrow $ tengo tres posibles resultados: $$$
$$q=0 \rightsquigarrow {z}^{{3}^{n-1}} -1 = 1-1 = 0$$
$$q=1 \rightsquigarrow {z}^{{3}^{n-1}} -1 = - \frac{1}{2} +\frac{ \sqrt{3} }{2} -1 = - \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{3} }{2}$$
\(q=2 \rightsquigarrow {z}^{{3}^{n-1}} -1 = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} -1 = - \frac{1}{2} -\frac{ \sqrt{3} }{2}\)
Más tarde subo el ejercicio 2 y el 4
Firma
$${\large \boldsymbol {{N\!ami}}}\hspace{0.07cm}^{\bigstar}$$