Final (11/03/2011)

Hola gente, como va? aca les dejo el final que tomaron el 11, voy a ver si lo puedo hacer hoy y pasarlo a latex, saludos.

excelente gracias

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HOLA EL FORO ES --> ACÁ -->http://www.forodeexactas.com.ar

En el primero, en que la relación se cumple si existe un n que haga que \(y=2^{n}x\), alcanza con encontrar un n y mostrar que se cumple? (lease n = 0, que hace que todo se cumpla). Alguna idea sobre el punto b)?

Como encararían el 5?
Yo trate de verlo por el lado de que si \(\alpha\) es raiz, entonces \(-\alpha\) tambien (lo mismo con \(1/\alpha\)), pero no llegue a nada.

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Farfalla ! Farfalla Vendetta !

Tomando \(n=0\) lo que mostrás es que \(x\sim x\) o sea, se trata de una relación reflexiva.
En cuando al 5:
Como el polinomio es de grado \(4\) debe tenerse \(a\neq 0\). Luego \(\alpha\neq 0\). Ahora, resulta

Si sacás factor común \({\alpha}^{4}\), que está bien pues es no nulo:

De nuevo, como \(\alpha\neq 0\), llegás a:

que si mirás fijo es el polinomio evaluado en \(\dfrac{1}{\alpha}\), deduciéndose que es raíz.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

No, tambien pruebo que es simetrica y transitiva, porque el 2 se hace siempre 1, entonces:
Si X = 1Y => Y = 1X (simetrica)
Si X = 1Y y Y = 1Z => X = 1Z (transitiva)
Ambas se cumplen por propiedades de la igualdad.

Mi pregunta seria, si con esto ya esta probado (al fin y al cabo, estoy probando que existe ese n que me dicen, o no?

Mejor un ejemplo: considerá \(x=10,y=5\). Tenemos que \(10=2\cdot 5\) luego \(10\sim 5\) PERO no es cierto que \(5\sim 10\). Lo que vos decís es que \(x=1\cdot x\). Fijate que en todos tus ejemplos \(x=y=z\). De hecho, por lo que mostré la relación no es de equivalencia, pues no es simétrica. El ejercicio pide ver que es una relación de orden.

Me dicen si esta bien estas resoluciones?

4b)
Por propiedad de las raices de 1 primitivas, dado \(w \in G_{n}^{*}, G_{n} = \{w^{0}, w^{1}, w^{2}, ... w^{n-1}\}\) y como \(w^0 = 1 = w^n\) es lo mismo que \(\{w^{1}, w^{2},...w^{n}\} \Rightarrow \prod z \in G_{n} = \prod_{1}^{n} w^{i}\) (con \(w \in G^{*}_{n}\)) \(= w^{\sum^{n}_{1}(i)} = w^{(n(n+1))/2}\)

Si n es par escribo \((w^{n+1})^{n/2} = (w^{n}*w^{1})^{n/2} = (1*w^{1})^{n/2} = w^{n/2}\) y como \(w \in G_{n}^{*} \Rightarrow w^{n/2} \neq 1\) pero tambien se sabe que \((w^{n/2})^{2}= (w^{n})^{2/2}=1 \Rightarrow w^{n/2} = x\) tal que \(x^2 = 1 \Rightarrow x=1 \vee x=-1\) y como dijimos que \(w^{n/2} \neq 1 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow w^{n/2} = -1\)

si es impar \((w^{n})^{(n+1)/2}=1^{(n+1)/2}=1\)

4a) No me sale, esto es hasta donde llegue..
como \(G_{n} = G_{n}^{*} \bigcup_{m / m|n} G_{m}^{*} \Rightarrow \prod x \in G_{n} = \prod w \in G_{m}^{*} \prod z \in G_{n}^{*} = (-1)^{n+1}\) Por el punto b

¿Alguien sabe como hacer el 3?

Dejo la resolución del 3:

Primero tenes que \(4a \equiv 1 (11)\)

Multiplicando el primero por 12 y el segundo por 18:

\(26a \equiv 1 (11)\) (1)
\(33b \equiv 5 (13)\) (2)

Por otro lado quiero averiguar \(26a - 33b \equiv X (143)\)

que se puede separar como

Y como \(33 \equiv 0 (11)\) y \(26 \equiv 0 (13)\)

Me queda:

Usando (1) y (2) me queda

Y como 11 y 13 son coprimos, por el teorema chino del resto yo se que \(\exists x_{0} / X \equiv x_{0} (11.13)\)

Y probando sale que \(x_{0} = 34 \Longrightarrow X \equiv 34 (143) \Longrightarrow 26a - 33b \equiv 34 (143)\)

Dejo mi resolución del 4 (no estoy seguro si esta bien):

Empeze resolviendo el b)

4)b)\(\prod_{i = 0}^{n-1} w^{i} = w^{\sum_{i = 0}^{n-1} i} = w^{\frac{n(n-1)}{2}} = w^{\frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2}}= \frac{(w^{n})^{\frac{n}{2}}}{(w^{n})^{\frac{1}{2}}}\Longrightarrow_{w \in G_{n}} \frac{1^{\frac{n}{2}}}{1^{\frac{1}{2}}} = 1\)

4)a)Tengo que calcular \(\prod_{w raiz primitiva} w\)

Como \(\prod_{w \in G_{n}} w\) lo calcule en b), calculo \(\prod_{w no primitiva} w\)

Si \(w^{*}\) es una raíz n-ésima no primitiva \(\Longrightarrow w = cos(\frac{2k\pi}{n}) + i.sen(\frac{2k\pi}{n})\) y \((k:n) = h, h \not = 1 \Longrightarrow k = h.q \quad y \quad n = h.t, (q:t) = 1\)

Entonces \(w = cos(\frac{2k\pi}{n}) + i.sen(\frac{2k\pi}{n}) = cos(\frac{2hq\pi}{ht}) + i.sen(\frac{2hq\pi}{ht}) = cos(\frac{2q\pi}{t}) + i.sen(\frac{2q\pi}{t})\)

y como \((q:t) = 1\) w me queda como "si fuese" primitiva (aca es donde tengo dudas de si esta bien) \(\Longrightarrow \prod_{w primitivas} w = \prod_{w no primitivas} w\)

\(\prod_{w primitiva} w = \frac{\prod_{w \in G_{n}} w}{\prod_{w no primitiva} w} = \frac{\prod_{w \in G_{n}} w}{\prod_{w primitiva} w} \Longrightarrow (\prod_{w primitiva} w)^{2} = \prod_{w \in G_{n}} w = 1 \Longrightarrow \prod_{w primitiva} w = 1\)

Notaste que tus dos formulas fallan con n=2?

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Quimey

Para el 4, se me ocurre pensar que si tenemos que encontrar el producto de las raíces primitivas, es lo mismo que calcular el producto de todas las raíces y luego dividir por el producto de todas aquellas raíces que no son primitivas, es decir, las que pertenecen a algún g con subindice primo con los primos que factorizan el Gn que queremos calcular. Como todos los primos son impares excepto el 2 y ya pola demostró que el producto de raíces de un g con subindice impar es 1 y el de un g con subindice par es -1, el producto de todas las raíces primitivas de Gm es el producto de todas las raíces de Gm dividido el producto de los Gn con n primo y n|m. Por lo tanto, si m es par, quiere decir que 2|m, por lo tanto, el producto de las raíces es -1/-1= 1, y si m es impar quiere decir que 2 no lo divide, por lo que el producto de las raíces es 1/1=1. O sea, es siempre 1.

también se puede pensar de la siguiente forma. El producto de las raíces de un cierto Gn con n par da -1 porque -1 pertenece a Gn (lo que no sucede si n es impar). Como todas las raices de la unidad dan 1 cuando se las multiplica por su conjugado, el único que le cambia el signo es el -1 que pertenece a G2 y sólo es primitiva en G2. Como el -1 no es primitiva en ningún G que no sea G2, nunca puede dar -1. Como me dicen que n es mayor que 3, el producto de las primitivas da siempre 1, y de todas las raíces, da 1 si es impar y -1 si es par.

yo ahora quiero pedir ayuda con el 2.

y también si alguien se copa hay un ejercicio de otro final que es calcular la sumatoria entre n y k con k=0 de (-1)^k por el combinatorio n,k. yo se que si n es impar entonces si k es par n-k es impar y si k es impar entonces n-k es par, por lo que el combinatorio n,k y el combinatorio n,n-k que son iguales, siempre tienen signos distintos, por lo que la sumatoria da 0. Pero cómo hago si n es par??

Gracias, Damián

si, estudiando en nochebuena, así es la vida.

Probaste hacer "fracciones simples en el 2"?
Otra opcion para este ejercicio y para el otro que preguntaste (el de la suma con el combinatorio) es calcular a mano los primeros terminos, conjeturar una formula y despues probarla por induccion.

Hago el 2:

Doi la idea porque todavia nose usar latex espero que se entienda

HAY QUE DARSE CUENTA DE QUE LA EXPRESION 1/(2i-1)(2i+1) ES MUY PARECIDA A

1/(2i-1) - 1/(2i+1) de hecho si hacen la cuenta se van a dar cuenta de que 1/(2i-1)(2i+1) es igual

a [1/(2i-1) - 1/(2i+1)].1/2 .DESPUES REEMPLASAS EN LA SUMATORIA QUE TE DAN Y EL 1/2 LO

SACAS AFUERA MULTIPLICANDO Y TE QUEDA LA SUMATORIA DESDE K=1 HASTA N DE

1/(2i-1) - 1/(2i+1) QUE ES LA SERIE TELESCOPICA OSEA SE VAN CANCELANDO LOS

TERMINOS Y TE QUEDA EL PRIMER TERMINO MENOS EL ULTIMO Y TODO MULTIPLICADO POR EL

1/2 QUE ESTABA AFUERA DE LA SUMATORIA

LAS RESPUESTA SERIA (1/2)(1-(1/2n+1))

Y PROBARLO POR INDUCCION ES UNA PAPA

CREO QUE ESTA BIEN CUALQUIER COSA CORRIJAN

El 4 a) sale fácil si

teniendo en cuenta que \(w_1^k\) es primitiva, entonces \(w_1^{n-k}\) también lo es.
entonces \(w_1^{k+(n-k)} = w_1^n = 1\). Y esto vale para cada \(k/ (k:n)=1 \wedge 1\leq k<n\)

Buenas tardes!

Una consulta en el 1b puede ser que el resultado sean todos los elementos {1.2.3....200} siempre y cuando n sea igual a 0?

guidotripodi escribió:

Buenas tardes!

Una consulta en el 1b puede ser que el resultado sean todos los elementos {1.2.3....200} siempre y cuando n sea igual a 0?

De hecho si ponés 7, la condición te dice que tiene que valer que \(xRy\) o bien \(yRx\), por lo tanto tendrías que verificar que \(3R7\) o \(7R3\), y como son coprimos no vas a poder relacionarlos (con la condición que implica esta relación)

hola! alguno sabe como justifica en el ejercicio 1. a) que la relacion es antisimetrica?
gracias!

Me parece que lo planteas y sale de una. Si me contas que hiciste o donde te trabaste te tiro una pista.

Lo que dije yo fue:
una relación es antisimetrica si \(xRy\) y \(yRx\) entonces \(x=y\)

yo qvq \(x=y\) y es es si solo si \(n=0\) esta bien? me parece una justificación medio incompleta.. Gracias!!

Bueno, ahora reemplazas \(x\) en la primera, usando la segunda. Cancelas el \(y\) y te queda \(4^n=1\) y eso solo pasa si \(n=0\).

tal cual! no me habia percatado de eso! gracias!!

Resoluciones simples y algo de explicación para el 4
Empiezo por el 4b)
Sabemos que las raíces enésimas de la únidad son los vértices un polígono de n lados regular dentro de la circunferencia de radio 1 y vertice 0.
¿Que mierda es esto?
Se ve asi
Sabemos que 1 siempre es raíz y el polígono tiene un vertice en la coordenada (1,0), esto es un dato de color.
Si ven este polígono se van a dar cuenta que dado una raíz enésima \(z \in G_n \rightarrow \overline{z} \in G_n\)
Esto es para convencerse uno más que nada, analiticamente lo que estamos viendo es que si \(n = q + r \Rightarrow\)

También podríamos decir que \(z^q . z^{-q} = z^q . \overline{z}^{q} = |z|^2 = 1\) Nota: \(z^n = z^{-n} = 1\) La cuestión es que si \(z^n \in G_n \Rightarrow \overline{z} \in G_n\) esto se dio en clase, hay apuntes no hace falta demostrarlo, yo arriba hice una pequeña demo. Esto es (si n es par) \(\prod_{1}^{n} z = \prod_{1}^{n/2}z.\overline{z}=\prod_{1}^{n/2}|z|^2=1\) Si n es impar saco \(z = 1 \\) para afuera y hago \(\prod_{1}^{n-1} z = \prod_{2}^{(n-1)/2}z.\overline{z}=\prod_{1}^{(n-1)/2}|z|^2=1\)

El 4a)
Es parecido, ya que si \(z \in G_n* \Rightarrow \overline{z} \in G_n*\)

Hola, para la transitividad en el 1.

Digo que si xRy y yRc entonces y=(2^n)*x y que c=(2^n)*y. Entonces yo quiero ver que siempre hay un n en N tal que xRc, es decir, que c=(2^n)*x. Reemplazo en las ecuaciones de antes y me queda que c= (2^2n)*x Entonces tengo que probar que siempre hay un n en N tal que (2^n)*x = (2^2n)*x. Con N = 0 se cumple siempre. Con eso ya está la transitividad?

Y otra consulta más... para el 1 B

Puede ser que la respuesta sea un conjunto cuyos elementos sean todos de la forma 3*(2^n) ? Con n entre 0 y 6 El conjunto sería algo como {3,6,12,24,48,96,192}