a) ¿Cuántas funciones A \(\rightarrow\) A hay tales que f(1) sea impar? ¿Y si f es además suryectiva?
b) ¿Cuántas relaciones A x A hay tales que son simétricas y reflexivas?
a) \(3 \cdot 5^4\), \(3 \cdot 4!\)
El b lo hice mal, alguno puede hacerlo si gusta 😛
Sean \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\) que satisfacen \(\alpha + \beta \in \mathbb{Z},\; \alpha\beta \in \mathbb{Z}\), probar que \(\forall n \in \mathbb{N}, \; {\alpha}^n + {\beta}^n \in \mathbb{Z}\)
Induccion: Caso base P(0) trivial, P(1) es verdadero por el enunciado.
Paso inductivo: \(P(n-1)\, \land \, P(n) \Rightarrow P(n+1): \; {\alpha}^{n+1} + {\beta}^{n+1} = \left({\alpha}^n + {\beta}^n\right)(\alpha + \beta) - \alpha{\beta}^n - {\alpha}^n\beta =\)
Lo que quedo \(\in \mathbb{Z}\) ya sea por HI, enunciado o algo que ya probamos antes, como hacemos operaciones basicas, el resultado es entero y probamos lo que queriamos probar
Probar que \(\forall a \in \mathbb{Z}, \; 92 \mid 2a^{{13}^{10}} - 2a\)
\(92 = 2^2 \cdot 23\)
Veo con 23: (divido por 2 ya que \(2 \perp 23\))
\(a^{{13}^{10}} \equiv a \; (23)\), supongo \(a \perp 23 \rightarrow a^{22} \equiv 1 \; (23)\) (PTF)
Aplicando algoritmo de division tengo que: \({13}^{10} = 22k + 1\), para algun \(k\)
\(a ^ {{13}^{10}} - a \equiv a^{22k+1} - a \equiv {\left(a^{22}\right)}^k \cdot a - a\equiv a - a \; (23)\) por lo cual \(23 \mid a ^ {{13}^{10}} - a \Leftrightarrow 23 \mid 0\), que es verdadero siempre que sea \(a \perp 23\)
Falta el caso donde \(a \equiv 0 \; (23)\), pero es trivial, por lo tanto 23 divide a la resta sin importar a.
Ahora vamos con el 4, como 2 no es coprimo con 4, al dividir divido tambien el módulo:
\(a ^ {{13}^{10}} \equiv a \; (2)\) Lo cual es facil de ver ya que la paridad de \(a\) es la misma de \(a ^ {{13}^{10}}\), y por lo tanto la resta es par, luego 2 la divide, solo falta aplicar una propiedad de la divisibilidad:
$$2 \mid a ^ {{13}^{10}} - a$$
$$2 \mid 2$$
Por lo tanto el producto divide al producto:
\(4 \mid 2a ^ {{13}^{10}} - 2a\), y con esto estamos.
Sigue que tanto 23 y 4 dividen a la resta, luego [23:4] la divide tambien pero al ser 23 y 4 coprimos [23:4] = 23*4 = 92
Calcular \(\sum_{k=0}^{n-1} \cos{\left(\frac{2 k \pi}{n}\right)}\)
Sea \(w \in G_n\), recordando que las raices de la unidad tienen la pinta: \(\cos\left(\frac{2 k \pi}n\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2 k \pi}n\right), \, 0 \leq k \leq n-1\), puedo reescribir la suma como:
Sea p un primo positivo impar y \(f = px^{p+1} - (p+1)x^p + 1\)
a) Probar que 1 es la única raiz racional de f
b) Hallar todas las raices complejas múltiples de f, y para cada una de ellas dar su multiplicidad
Para el a) hay que usar gauss y sacar todas las posibles raices racionales que son 1, p, 1/p y sus negativos, reemplazando x en cada uno se ve facil que 1 es la unica raiz racional
b) \(f' = (p+1)px^p - (p+1)px^{p-1}\)
$$f' = (p+1)px^{p-1}(x - 1)$$
De lo cual sale que 1 es raiz multiple de f (al ser raiz de f'), falta ver las otras raices:
En este caso calcular la cantidad de funciones suryectivas no es complicado ya que las f que estas calculando van de A en A, lo que quiere decir que si f es suryectiva entonces es inyectiva. Además si f es inyectiva, es suryectiva.
Por lo que calcular todas las funciones suryectivas de A en A es equivalente a calcular todas las funciones inyectivas de A en A y lo podés pensar así: tenes 3 casos distintos
f(1) = 1 y te queda ver #{f: {2,3,4,5} -> {2,3,4,5} / f es inyectiva} = 4!
f(1) = 3 y te queda ver #{f: {1,2,4,5} -> {1,2,4,5} / f es inyectiva} = 4!
f(1) = 5 y te queda ver #{f: {1,2,3,4} -> {1,2,3,4} / f es inyectiva} = 4!
Definir una relación en \(A \times A\) no es otra cosa que elegir algunos pares de elementos de \(A\). Como la relación es reflexiva, todos los pares de la forma \((x,x)\) (o sea con los dos elementos iguales) tienen que estar. Ahora tenemos que ocuparnos de los pares de la forma \((x,y)\) con \(x \neq y\). Como la relación es simétrica, la condición es que si elegimos el \((x,y)\) también tenemos que elegir el \((y,x)\). Entonces lo que podemos hacer es mirar solamente los pares \((x,y)\) con \(x<y\), que son \(10\). De esos elegimos los que queremos, y después elegimos sus simétricos, que no están entre los que miramos pues cumplen \(x>y\). En total hay \(2^{10} = 1024\) relaciones posibles.
En este caso calcular la cantidad de funciones suryectivas no es complicado ya que las f que estas calculando van de A en A, lo que quiere decir que si f es suryectiva entonces es inyectiva. Además si f es inyectiva, es suryectiva.
Por lo que calcular todas las funciones suryectivas de A en A es equivalente a calcular todas las funciones inyectivas de A en A y lo podés pensar así: tenes 3 casos distintos
f(1) = 1 y te queda ver #{f: {2,3,4,5} -> {2,3,4,5} / f es inyectiva} = 4!
f(1) = 3 y te queda ver #{f: {1,2,4,5} -> {1,2,4,5} / f es inyectiva} = 4!
f(1) = 5 y te queda ver #{f: {1,2,3,4} -> {1,2,3,4} / f es inyectiva} = 4!
sumando los 3 casos te queda : 3.4!
Yo mas bien lo pense como "3 opciones para 1, 4 para el 2, 3 para el 3... etc 34321 = 3*4!", haciendo la salvedad tambien de que f debia ser biyectiva
Matías escribió:
Para el 1b)
Definir una relación en \(A \times A\) no es otra cosa que elegir algunos pares de elementos de \(A\). Como la relación es reflexiva, todos los pares de la forma \((x,x)\) (o sea con los dos elementos iguales) tienen que estar. Ahora tenemos que ocuparnos de los pares de la forma \((x,y)\) con \(x \neq y\). Como la relación es simétrica, la condición es que si elegimos el \((x,y)\) también tenemos que elegir el \((y,x)\). Entonces lo que podemos hacer es mirar solamente los pares \((x,y)\) con \(x<y\), que son \(10\). De esos elegimos los que queremos, y después elegimos sus simétricos, que no están entre los que miramos pues cumplen \(x>y\). En total hay \(2^{10} = 1024\) relaciones posibles.
Gracias!, aunque no entendi porque te quedan \(2^{10}\), estoy acostumbrado a contar funciones, no relaciones 😄
Como dice, "elegir" pares ¿no deberia haber un combinatorio ahi?
En el ejercicio 3, a mi me dio 13^10 congruente a 0 modulo 22, por que aparece que es congruente a 1? No entiendo para que hiciste la tabla de restos, no basta con poner a cuanto es congruente 13^10 modulo 22?
En el ejercicio 3, a mi me dio 13^10 congruente a 0 modulo 22, por que aparece que es congruente a 1? No entiendo para que hiciste la tabla de restos, no basta con poner a cuanto es congruente \(13^{10}\) modulo 22?
Creo que no hace falta hacer tabla de restos...
Yo hice asi:
Para saber la congruencia modulo 22 de \(13^{10}\), lo dividi en modulo 11 y modulo 2 , por teo chino, y despues el modulo 11 sale por fermat y el 2 porque la multiplicacion de 2 numeros impares siempre es impar, asique con mas razon las potencias...
En el ejr 3, siempre es valido ese calculo sobre el exponente?
O solamente bajo algunas condiciones especificas? (capaz me perdi alguna propiedad jajaja)
Agrego otra: En el ejr 5, que hiciste para pasar de tener \(f' = (p+1)px^p - (p+1)px^{p-1}\) a tener \(f' = (p+1)px^{p-1}(x - 1)\).
Me choca de donde sale el \((x-1)\) del final y porque desaparece el segundo termino que esta restando
Definir una relación en \(A \times A\) no es otra cosa que elegir algunos pares de elementos de \(A\). Como la relación es reflexiva, todos los pares de la forma \((x,x)\) (o sea con los dos elementos iguales) tienen que estar. Ahora tenemos que ocuparnos de los pares de la forma \((x,y)\) con \(x \neq y\). Como la relación es simétrica, la condición es que si elegimos el \((x,y)\) también tenemos que elegir el \((y,x)\). Entonces lo que podemos hacer es mirar solamente los pares \((x,y)\) con \(x<y\), que son \(10\). De esos elegimos los que queremos, y después elegimos sus simétricos, que no están entre los que miramos pues cumplen \(x>y\). En total hay \(2^{10} = 1024\) relaciones posibles.
con \(2^{10}\) contaste todas las apariciones de parejas \(x<y\), creo que faltaría sumarle \(2^5\) de las reflexivas (los de la pinta \(x=y\))
Definir una relación en \(A \times A\) no es otra cosa que elegir algunos pares de elementos de \(A\). Como la relación es reflexiva, todos los pares de la forma \((x,x)\) (o sea con los dos elementos iguales) tienen que estar. Ahora tenemos que ocuparnos de los pares de la forma \((x,y)\) con \(x \neq y\). Como la relación es simétrica, la condición es que si elegimos el \((x,y)\) también tenemos que elegir el \((y,x)\). Entonces lo que podemos hacer es mirar solamente los pares \((x,y)\) con \(x<y\), que son \(10\). De esos elegimos los que queremos, y después elegimos sus simétricos, que no están entre los que miramos pues cumplen \(x>y\). En total hay \(2^{10} = 1024\) relaciones posibles.
con \(2^{10}\) contaste todas las apariciones de parejas \(x<y\), creo que faltaría sumarle \(2^5\) de las reflexivas (los de la pinta \(x=y\))
Si, le falto hacer la multiplicación por la cantidad de relaciones simétricas.