Muchachos, a ver si alguno me puede tirar una idea para resolver este ej que sé que tiene que ver con el binomio de newton (no sé qué les agarró con el binomio ahora), pero no sé por dónde encararlo:
Nota: sí, tuve en cuenta lo que dice abajo, pero se ve que me falta algo de teoría como para poder probarlo primero..
Y por último, cómo puedo hacer el b)? Lo pensé aplicando el tema de las raíces primitivas de G5, pero realmente no logré nada..
Muchísimas gracias!
PD: los otros creo haberlos resuelto, cualquier cosa posteenlos y si junto ganas posteo mi resolución 😉
buiiinas, mirá, te dejo cómo demostrar la sugerencia y después es un tema de reemplazar en la sumatoria y sale fácil:
queremos ver que \(k\displaystyle\binom{n}{k} = n\displaystyle\binom{n-1}{k-1}\)
entonces tomo la segunda parte de la igualdad: \(n\displaystyle\binom{n-1}{k-1}\)
y la reescribo como para ver qué me queda:
$$n\displaystyle\binom{n-1}{k-1} = n \frac{(n-1)!}{(n-1-(k-1))! (k-1)!}$$
simplificando un poco me queda \(\frac{n!}{(n-k)! (k-1)!}\)
y entonces multiplico numerador y denominador por k:
$$\frac{kn!}{k(n-k)! (k-1)!} = k \frac{n!}{(n-k)! k!} = k\displaystyle\binom{n}{k}$$
la segunda parte no es complicada, tenes que reemplazar el nuevo combinatorio y podes sacar factor común n..
recordá siempre que \(\sum_{k=0}^n{\displaystyle\binom{n}{k}} = 2^n\)
tomo \(w + \bar{w}\) y lo reemplazo en el polinomio que me dan:
$$(w + \bar{w})^2 + w + \bar{w} -1 = w^2 + 2 w \bar{w} + (\bar{w})^2 + w + \bar{w} -1$$
teniendo en cuenta que: \(w\bar{w} = |w|^2\) y \(\bar{w} = w^{-1}\)
el polinomio evaluado me da \(w^4 + w^3 + w^2 + w + 1\)
por dato , w era raíz primitiva de G5 , luego, la sumatoria anterior es igual a 0. Con esto probamos que \(w + \bar{w}\) es raíz del polinomio.
La parte b del ejercicio sale teniendo en cuenta que \(w + \bar{w} = 2Re(w)\) y que además \(|w|cos( arg (w) ) = Re (w)\)
sabiendo que \(z = cos(2\pi/5) + i sen(2\pi/5)\) es una raíz de G5 primitiva podemos deducir del ítem anterior que \(z + \bar{z} = 2Re(z) = 2cos(2\pi/5)\) es raíz del polinomio.
buiiinas, mirá, te dejo cómo demostrar la sugerencia y después es un tema de reemplazar en la sumatoria y sale fácil:
queremos ver que \(k\displaystyle\binom{n}{k} = n\displaystyle\binom{n-1}{k-1}\)
entonces tomo la segunda parte de la igualdad: \(n\displaystyle\binom{n-1}{k-1}\)
y la reescribo como para ver qué me queda:
$$n\displaystyle\binom{n-1}{k-1} = n \frac{(n-1)!}{(n-1-(k-1))! (k-1)!}$$
simplificando un poco me queda \(\frac{n!}{(n-k)! (k-1)!}\)
y entonces multiplico numerador y denominador por k:
$$\frac{kn!}{k(n-k)! (k-1)!} = k \frac{n!}{(n-k)! k!} = k\displaystyle\binom{n}{k}$$
la segunda parte no es complicada, tenes que reemplazar el nuevo combinatorio y podes sacar factor común n..
recordá siempre que \(\sum_{k=0}^n{\displaystyle\binom{n}{k}} = 2^n\)
MUCHAS gracias por las respuestas! Sólo me quedó una duda: sería correcto en la 2da parte de ese ejercicio donde el combinatorio te quedaria
$$\sum_{k=1}^n{\displaystyle k \binom{n}{k}} = \sum_{k=1}^n{\displaystyle n \binom{n-1}{k-1}} = n\sum_{k=1}^n{\displaystyle\binom{n-1}{k-1}}$$
El tema es que acá para poder usar \(\sum_{k=0}^n{\displaystyle\binom{n}{k}} = 2^n\), debería tener la sumatoria que cubra los mismos números, entonces aquí mi dilema a equivocarme: agarro esa expresión, evalúo el combinatorio en 0 y lo saco de la sumatoria:
Y ahí uso eso para reemplazar en lo que tenía antes, aunque la expresión del combinatorio no sea igual? Ahí está mi duda: como paso de la expresión de \(\sum_{k=0}^n{\displaystyle\binom{n}{k}}\) a relacionarlo con \(n\sum_{k=1}^n{\displaystyle\binom{n-1}{k-1}}\) ?
Es decir, cómo hago para poder reemplazar esa expresión por una que me permita usar la igualdad que me dijiste al final de tu respuesta?
Nuevamente, muchas gracias por la ayuda 😉
PD: el otro ej pedía literalmente "calcular" ese coseno, alcanzará con lo que pusiste? yo había llegado a eso, pero no podía obtener un "resultado".
en la primer igualdad lo único que hice fue un cambio de índice: tomé i -1 = k , por lo que la sumatotria va a ir desde k = 0 hasta k = n-1.
Para la segunda igualdad tenes que tener en cuenta que \(\sum_{k=0}^{n}{\displaystyle\binom{n}{k}} = 2^{n}\)
de ahí se deduce fácil que \(\sum_{k=0}^{n-1}{\displaystyle\binom{n-1}{k}} = 2^{n-1}\)
Con eso resolves el primer ejercicio que posteaste.
Para el segundo ejercicio no alcanza con lo que puse, la onda era que al calcular las dos raíces del polinomio, te dieras cuenta que 2 Re (w) era igual a una de las dos raíces (ya que, como demostramos, \(w + \bar{w}\) es raíz del polinomio). Te dabas cuenta fijandote que una raíz era positiva y otra era negativa, y el coseno que estás calculando es \(cos(\pi (2/5)) >0\).
Por lo tanto, miro las dos raíces del polinomio, que son : \(\frac{-1 + \sqrt[]{5}}{2} y \frac{-1 - \sqrt[]{5}}{2}\)
Igualo:
\(2 cos(\pi (2/5)) = \frac{-1 + \sqrt[]{5}}{2}\) (acá igualé a la raíz positiva)
luego, \(cos(\pi (2/5)) = \frac{-1 + \sqrt[]{5}}{4}\)
espero haber sido claro, cualquier cosa avisame =)
en la primer igualdad lo único que hice fue un cambio de índice: tomé i -1 = k , por lo que la sumatotria va a ir desde k = 0 hasta k = n-1.
Para la segunda igualdad tenes que tener en cuenta que \(\sum_{k=0}^{n}{\displaystyle\binom{n}{k}} = 2^{n}\)
de ahí se deduce fácil que \(\sum_{k=0}^{n-1}{\displaystyle\binom{n-1}{k}} = 2^{n-1}\)
Con eso resolves el primer ejercicio que posteaste.
Para el segundo ejercicio no alcanza con lo que puse, la onda era que al calcular las dos raíces del polinomio, te dieras cuenta que 2 Re (w) era igual a una de las dos raíces (ya que, como demostramos, \(w + \bar{w}\) es raíz del polinomio). Te dabas cuenta fijandote que una raíz era positiva y otra era negativa, y el coseno que estás calculando es \(cos(\pi (2/5)) >0\).
Por lo tanto, miro las dos raíces del polinomio, que son : \(\frac{-1 + \sqrt[]{5}}{2} y \frac{-1 - \sqrt[]{5}}{2}\)
Igualo:
\(2 cos(\pi (2/5)) = \frac{-1 + \sqrt[]{5}}{2}\) (acá igualé a la raíz positiva)
luego, \(cos(\pi (2/5)) = \frac{-1 + \sqrt[]{5}}{4}\)
espero haber sido claro, cualquier cosa avisame =)
Más claro imposible. Se me había ocurrido hacer un cambio en la sumatoria de ese estilo, pero no seguí esa idea.. Claramente fue una mala decisión.
Te agradezco enormemente por la ayuda 😄
Saludos!
Que tal? Quisiera ver si la manera en la cual resolví el ejercicio 4) esta bien:
el enunciado dice:
4) Para cada \(a\in \mathbb{Z}\), calcular el valor de \(({3}^{16}a+5:{3}^{17}a+66)\):
si \(d\) es le m.c.d. entonces: \(d|{3}^{16}a+5\) y \(d|{3}^{17}a+66\)
Multiplico por \(3\) a \({3}^{16}a+5\) y obtengo \({3}^{17}a+15\) luego resto con \({3}^{17}a+66\)
y llego a que \(d|-51\) como \(d \in \mathbb{N},\)\(d=1,3,17,51\)
Ahora para cada uno de estos valores busco \(a \in \mathbb{Z}\) tales que \(d\) divida
\(d=3\) no divide nunca el 1er termino, no importa el valor de \(a\) que tome.
\(d=17\) divide para \(a\equiv 12(17)\)
\(d=51\) tampoco divide
luego la respuesta es :si \(a\equiv 12(17)\) ; \(m.c.d=17\)
y si \(a\neq 12(17)\) ; \(m.c.d=1\)
