Tema
Perdon pero todavia no se usar el latex, quisiera que me tiren alguna idea para resolver el siguiente ejercicio:
Desde ya muchas gracias!!!!
Hola! yo tampoco se usar Latex pero bueno aca va lo que se me ocurrio a mi.
La idea es usar inducción.
Nuestro P(n) : Sea n perteneciente a los naturales, probar que el conjunto \(\{n,n+1,...,2n\}\)hay un cuadrado perfecto.
Veamos P(1) : {1, 2} tiene a el 1 que es \(1 ^ 2 = 1\). Listo
Queremos ver que P(n) => P(n + 1).
Como P(n) es verdadero entonces en \(\{n, n+1, ..., 2n\}\) hay un cuadrado perfecto. Si nuestro cuadrado pertenece a \(\{n + 1, ..., 2n\}\)
listo! porque \(\{n +1, ..., 2n\} \subseteq \{n + 1, ..., 2n, 2n + 1, 2n + 2\}\). Si no es así entonces nos queda que n es un cuadrado perfecto o dicho de otra
forma \(n = a ^ 2\). con a natural.
Luego si tomamos el numero \((a + 1) ^ 2\) cae dentro de \(\{n +1, ..., 2n + 2\}\) o dentro de \(\{a ^ 2 + 1, ..., 2a ^ 2 + 2\}\) que es lo mismo.
=> Encontramos un cuadrado perfecto dentro del conjunto \(\{n + 1, ..., 2n + 2\}\).
Espero este bien! Me encantó este problema.
Falta justificar que \((a+1)^2 \in \{n+1,\cdots,2n+2\}\).
Quimey