Y acá no se me ocurre nada más... Después de chamuyar un rato llegué a que el único \(k\) que podría cumplir esto es \(k=[\frac{3^{55}}{19.2}]\) (es decir, la parte entera de \(\frac{3^{55}}{19.2}\)), pero la verdad es que no se me ocurre cual sería la forma posta de resolverlo...
Por propiedades de la potenciación \({({z}^{3})}^{55}={z}^{3.55}={z}^{165}\)
Saludos.
También puede ser que no sea \({({z}^{3})}^{55}\), sino \({z}^{({3}^{55})}\). Yo lo resolví pensando en la primera opción. Ahora lo pienso de la otra manera.
Veamos que \(z= cos \frac {2\pi}{38} + i sen \frac {2\pi}{38}\) que es \({z}^{1}\) en \({G}_{38}\)
Veamos la congruencia de \({3}^{55}\) módulo 38.
Sea \(x \equiv {3}^{55} (38)\)
Esto pasa si y sólo si :
$$x \equiv {3}^{55} (2) \wedge x \equiv {3}^{55} (19)$$
Haciendo Fermat en ambas ecuaciones queda que :
$$x \equiv 1 (2) \wedge x \equiv 3(19)$$
Como 2 y 9 son coprimos, aplicando el Teorema Chino del Resto:
$$x \equiv 3 (38)$$
Luego \({{z}^{3}}^{55} = {z}^{3}\)
Por lo tanto, \(arg ({{z}^{3}}^{55}) = arg ({z}^{3}) = 3.arg ({z}^{1})= \frac {6\pi}{38}\)
esa era mi pregunta! me parece que no es \({({z}^{3})}^{55}\) es lo segundo que pusiste = \({z}^{({3}^{55})}\) osea que el resultado me parece que es \(arg ({{z}^{3}}^{55}) = arg ({z}^{3}) = 3.arg ({z}^{1})= \frac {6\pi}{38}\)
estoy casi seguro que es asi, hay varios ejemplos de esto en las practicas y no podes aplicar propiedades de potenciacion y resolverlo, sino que tenes que ver que le pasa al exponente por separado y ahi volver a lo que tenias al principio!