Un final bien rompe culos 😆
Tema
final 21/12/10
Buenísimo gracias!
Esto es algo de lo que puse yo, no estoy seguro que este bien:
Ej 1:
a1 = 2
an+1 = 2 + 2an
y llegue a que:
an = sumatoria(2^i) desde i=0 hasta n
Ej 2a:
n par: 2^n
n impar: 0
Ej 3:
me quedaron 4 restos diferentes: 1, 25, y los otros dos no me acuerdo
Ej 5:
de aca
1/a + 1/b + 1/c = 1
llegue a
ab + bc + cb = abc
formas el polinomio de raices a, b y c
X^3 - X^2 + abcX - abc
lo dividis por (X-1) y probas que 1 es raiz (osea uno de los 3 numeros)
El 1 me dió igual solamente te falto restarle 1 al término general de \(a_{n}\)...
Chequealo con \(n=1\)
Para el 3:
Se analiza el MCD, pidiendo que \(a^{103}+3\equiv 0 (2)\)
Y se usa PTFermat para la congruencia según el módulo 7.
Quedan 2 restos posibles: 3, 11
El 2a:
No da 0 la suma? Porque lo podés ver como el binomio de Newton: \((-1+1)^{n}\)
El 5 me dio igual:
Saludos.
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Editado 2 veces.
En el 3 me parece que hay dos respuestas de más; fíjense que \(a\equiv 17 (28) \vee a \equiv 25(28) \Longleftrightarrow{a\equiv 1 (4)}\) y entonces \({a}^{103} \equiv 1 (4)\) lo que no puede ser porque 4 no divide \({a}^{103} +3\), pues sino \(({a}^{103} +3 : 4)\) sería 4 y no 2.
Exacto... Es que con el MCD sacás que:
\(a\equiv1 (2)\) de donde \(a^{2}\equiv 1 (4)\)
Y mirando las tablas de resto te quedan dos posibilidades:
$$a)a\equiv 1(4)$$
Esta congruencia no sirve pues \(a\equiv_{(4)}1 \implies a^{103}+3\equiv 0(4)\) lo cual no puede suceder porque sino el MCD no sería 2.
o bien
$$b)a\equiv 3(4)$$
En cuanto a la congruencia según el módulo 7:
$$a^{212}\equiv_{(7)} (a^{7})^{30}\cdot{a^{2}}\equiv_{(7)}a^{32}\equiv_{(7)}(a^{7})^{4}\cdot{a^{4}}\equiv_{(7)}a^{8}\equiv_{(7)}a^{2}$$
Entonces:
$$a^{2}\equiv 2 (7)$$
de donde aplicando tabla de restos:
$$i)a\equiv 3(7)$$
o bien
$$ii)a\equiv 4(7)$$
Donde te quedan 2 sistemas a resolver combinando \(b\) con \(i,ii\)
EDIT: Tenés razón. la congruencia \(a)\) no sirve. Entonces te quedan 2 soluciones:
\(a\equiv3(28)\) y \(a\equiv 11(28)\)
Editado 1 vez.
Genial, se agradece. En cuanto al 2) a) yo también había llegado a que la respuesta era cero para todo n, pero no sabía cómo probarlo hasta que vi tu post, así que también se agradece eso.
No, no es nada. No era tan heavy el final después de todo. El que me tiene pensando es el 2)b)...
Ahora en un toque posteo el 4 sino lo postea alguien antes 😛
Saludos...
Alguien que entienda se podria copar y pasarlo a "foro"?
Porque la verdad, no entiendo mucho la letra xP.
Firma
Farfalla ! Farfalla Vendetta !
el \(4)a)\)
Reflexicidad:
$$w\Re w \Longleftrightarrow w\cdot{w^{-1}} \in G_{8}$$
Pero como \(w\cdot{w^{-1}}=1\) y \(1\in G_{8} \implies \ w\Re w \ \forall w\in G_{16}\)
Simetría:
Aca no estoy seguro. Probablemente la flashee:
Queremos ver que:
$$w\Re z \implies z\Re w$$
$$w\Re z \Longleftrightarrow \ w\cdot{z^{-1}}\in G_{8}$$
Entonces \((w\cdot{z^{-1}})^{8}=1 \Rightarrow \ (w\cdot{z})^{8}=1\)
Dado que \(z^{-8}=z^{8}\) ya que \(w,z \in \ G_{8}\)
$$z\Re w \Longleftrightarrow \ z\cdot{w^{-1}}\in G_{8}$$
Y razonando como antes se llega a \((w\cdot{z})^{8}\)
Transitividad:
Queremos ver que:
$$w\Re z \wedge \ z\Re a \implies \ w\Re a$$
O sea:
$$w\cdot{z^{-1}} \in \ G_{8} \ \wedge \ z\cdot{a^{-1}} \in \ G_{8}$$
\(w\cdot{a^{-1}}=w\cdot{a^{-1}}\cdot{z\cdot{z^{-1}}}=w\cdot{z^{-1}}\cdot{z\cdot{a^{-1}}} \ \in \ G_{8}\)
$$4)b)$$
Sea \(z_{0} \in \G_{8}\)
queremos ver que \(w\Re z_{0} \Longleftrightarrow \ w\in \ G_{8}\)
$$w\Re z_{0} \Longleftrightarrow w\cdot{z_{0}^{-1}} \in \ G_{8}$$
i.e. \((w\cdot{z_{0}^{-1}})^{8}=1\)
Pero \((z_{0}^{-1})^{8}=(z_{0}^{8})^{-1}=1\) ya que \(z_{0}\in \ G_{8}\)
Luego:
\((w\cdot{z_{0}^{-1}})^{8}=w^{8}=1 \Longleftrightarrow w\in \ G_{8} \ \square\)
Editado 1 vez.
Yo la simetría la probé así también, así que flasheamos lo mismo.
Acá va mi resolución del 4) b), es un poco más larga que la de Kill, pero nunca esta de más.
4)b)
Sea \({z}_{0} \in{{G}_{8}}\)
queremos ver que \(w \Re{z}_{0} \Longleftrightarrow{ w \in{{G}_{8}}}\)
Probemos la ida:
$$w \Re{z}_{0} \Longleftrightarrow{ { w. {{z}_{0}}^{-1} \in {{G}_{8}}\Longleftrightarrow{ {w. {({z}_{0}}^{-1})}^{8}=1}\Longleftrightarrow{ {w}^{8}. {{z}_{0} }^{-8}=1 \Longleftrightarrow {{w}^{8}. {{{z }_{0} }}^{8}=1}$$
Este último paso es porque \({{z}_{0} }^{-8}={{z}_{0} }^{16-8}={{z}_{0} }^{8}.\)
Como \({{z}_{0} }^{8}= 1 \Longrightarrow{{w}^{8} . {{z}_{0) }^{8}= {w}^{8} . 1 =1}\Longrightarrow {{w}^{8}=1} \Longleftrightarrow{ w \in{{G}_{8}}}\)
Ahora probemos la vuelta:
Si \({ w \in{{G}_{8}}} \Longrightarrow {{w}^{8}=1}\)
Además, cómo \({{z}_{0} \in {{G}_{8}} \Longrightarrow {{{z}_{0}}^{-1} \in {{G}_{8}} \Longrightarrow {({{z}_{0}}^{-1})}^{8}=1}\)
Luego
$${\left(\begin{matrix}{w . {{z}{0}}^{-1}\end{matrix}\right)}^{8}={w}^{8}. {({{z}{0}}^{-1})}^{8} = 1 . 1 =1 \Longleftrightarrow {w\re{({z}{0})}^{-1} \in {{G}{8}} \Longleftrightarrow w \Re{z}_{0}$$
. Listo
Editado 1 vez.
Pupi escribió:
Alguien que entienda se podria copar y pasarlo a "foro"?
Porque la verdad, no entiendo mucho la letra xP.
que, si mi letra es una obra de arte 😄
el 3 a mi tmb me daba 11 y 3
el 2 a si es 0, yo no vi que era newton y justifique hablando con algunas propiedades de combinatoria
nose como me lo tomaran
el 2,B)...¿alguien le salio?
osea, la cantidad de subconjuntos de A con cantidad de elementos par es igual a la cantidad de subconjuntos de A con cantidad de elemntos impar. yo supongo que tiene algo que ver con el 2.A seguramente, pero ni en pedo lo veo
Estaba cerca y me tiraron una soga:
$$2)b)$$
Efectivamente usamos el \(2)a)\):
$$0=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}=\sum_{i \ pares}(-1)^{i}\binom{n}{i} + \sum_{j \ impares} (-1)^{j}\binom{n}{j}$$
Como tomé los pares \(i\) entonces \((-1)^{i}=1\)
Análogamente para los \(j\) impares: \((-1)^{j}=-1\)
Luego:
$$0=\sum_{i \ pares}\binom{n}{i} - \sum_{j \ impares} \binom{n}{j}$$
de donde:
\(\sum_{i \ pares}\binom{n}{i}=\sum_{j \ impares} \binom{n}{j}\)
Mostro Kill... Compro compro
Bueno yo tambien copie el final e iba a subirlo pero veo que ya me ganaron de mano y ya lo resolvieron todo jajaja
Subo la el final nuevamente porque dijeron que no entendian bien la letra y capaz la mia se entienda mas
http://img821.imageshack.us/i/finaldq.jpg/ ( no aparece la imagen asi q pongo el link abajo, perdon soy nuevo en el foro y no se bien como insertarla)
no recuerdo quien dijo que el final era facil, en mi humilde opinion no fue facil, facil fue el del 14.
Los unicos que salian medianamente bien de una eran el 1 el 3 y capaz el 4 si estabas agil con raices de la unidad.
Con el 2 luche una hora y media hasta que me di cuenta que era binomio de newton. y el 5 no lo pude hacer.
Yo tengo una duda sobre el 4, porque lo hice de una forma diferente a la que vi resuelta.
yo arranque por el B y demostre que si w pertenece a G8 y wRz entonces z pertenece a G8 y si w no esta en g8 y wRz entonces z no pertenece a G8 (lo usando que si esta en g16 tiene la pinta 2k Pi/16 y g8 tiene la pinta 2Q pi/8 entonces K tiene que ser congruente a 0 modulo 2, lo explique mas en el final pero bueno como no se escribri en latex ni tampoco funciona tiro la idea para ver si es valida. Porque depues use esta propiedad para demotrar simetria y transitividad.
Bueno espero haber contribuido en este foro que tanto me ayudo.
No dije que fue fácil, sino que no era tan heavy después de todo. Después de todo, dije, puesto que al principio también me pareció heavy.
Seguramente, en el final no me hubiesen salido tan fácil, pero mirándolo desde afuera no es tan jodido, exceptuando tal vez el 2.
Gracias por la imgane. Buena letra 😛
La tuya también iwannarock 😄
Saludos...
Igual hay que admitir que el final del 14 era sensiblemente más fácil.
Seguro. Era más fácil en muchas cosas. Incluso el de funciones. Pero que se yo, he visto finales que te matan XD
A los de funciones les tengo respeto...
KillSchrodingerCat escribió:
Estaba cerca y me tiraron una soga:
$$2)b)$$Efectivamente usamos el \(2)a)\):
$$0=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}=\sum_{i \ pares}(-1)^{i}\binom{n}{i} + \sum_{j \ impares} (-1)^{j}\binom{n}{j}$$Como tomé los pares \(i\) entonces \((-1)^{i}=1\)
Análogamente para los \(j\) impares: \((-1)^{j}=-1\)Luego:
$$0=\sum_{i \ pares}\binom{n}{i} - \sum_{j \ impares} \binom{n}{j}$$de donde:
\(\sum_{i \ pares}\binom{n}{i}=\sum_{j \ impares} \binom{n}{j}\)
no estoy muy convencido de que eso sea asi, es interesante, pero no es para todo n.
si te fijas con n impar, te queda la sumatoria de una manera, y con n par te queda de otra(fijate dando valor 4 y 5 a n y mira como cambio la sumatoria, osea los que se cancelan como cambian los signos)
no me termina de convencer eso(no digo que esta mal, pero no lo termino de ver)
Convengamos que desde casa parece facil, pero creo que en la situación de examen no fue tan simple. Sobretodo si lo comparamos con el que tomaron el 14. Para mí era un examen para 30 - 40 min más...
Otra forma de ver la simetria de ejercicio 4:yo se que W.Z^-1 esta en G8, y quiero probar que Z.W^-1 esta en G8. yo se que W y Z estan en G16 y a G16 puedo definirlo como W1^k con k entre 0 y 15. entonces puedo cambar a W y Z por W1^n y W1^m con m y n entre 0 y 15. entonces cambiando W.Z^-1 me queda W1^n.W1^-m que es lo mismo que W1^n-m y esto se que esta en G8. lo que quiero probar es que Z.W^-1 esta en G8 y esto es lo mismo que W1^m.W1^-n que es lo mismo que W1^m-n.
yo se que W1^n-m esta en G8, entonces tambien està su conjugado, que es W1^-(n-m) = W1^m-n que es lo que queria probar.
iwannarock escribió:
no estoy muy convencido de que eso sea asi, es interesante, pero no es para todo n.
si te fijas con n impar, te queda la sumatoria de una manera, y con n par te queda de otra(fijate dando valor 4 y 5 a n y mira como cambio la sumatoria, osea los que se cancelan como cambian los signos)
no me termina de convencer eso(no digo que esta mal, pero no lo termino de ver)
No hay drama 😛 no me iba a enojar jaja
Me parece igual que lo estás viendo mal. Estamos contando cantidad de subconjuntos sumando números combinatorios.
La última igualdad lo que te dice es que la cantidad de subconjuntos de pares es igual a la de impares siempre y cuando haya la misma cantidad de pares e impares 😛
Tenes que contar el 0 igual...
cuando me lo entregaron yo dije: lo entrego y me voy..
después cuando empecé a probar, el 1, 2 y 3 más o menos salían
el 4 mandé fruta a lo loco
y el 5 no lo supe probar..
alguien hizo el 5?
pd. en el 2, a) me dio 0 sea n par o impar
en el 3) me dieron 2 resultados, resto 3 o 11 (si no me falla la memoria)
Firma
El 5: LINK!
nico_valle escribió:
Igual hay que admitir que el final del 14 era sensiblemente más fácil.
TOTALMENTE! que bronca me dioooo!!!
La verdad que sí fue un final rompe culos... solo estoy segura del de enteros y el 5. En el resto mandé fruta y el 2 no lo hice! 🙁
Indignada con que no hayan tomado un buen ejercicio de combinatoria!!!
Mañana en qué oficina había que buscar las notas?
Firma
Even diamonds start as coal...
vicky escribió:
nico_valle escribió:
Igual hay que admitir que el final del 14 era sensiblemente más fácil.
TOTALMENTE! que bronca me dioooo!!!
La verdad que sí fue un final rompe culos... solo estoy segura del de enteros y el 5. En el resto mandé fruta y el 2 no lo hice! 🙁
Indignada con que no hayan tomado un buen ejercicio de combinatoria!!!
Mañana en qué oficina había que buscar las notas?
oficina 2091(¿donde corno es?) a las 7 de la tarde.
despues con mas calma miro de nuevo el 2 b a ver si lo entiendo
igual no me iba a salir ni en pedo en el parcial xD
cierto que el del 14 fue un regalo en comparacion, pero bue, que se le va a hacer.
yo creo que aprobar lo apruebo este...pero no es lo mismo un 5 o 6 que un 8
Che, si es la oficina de Matias Graña yo se donde es...
es subiendo las escaleras esas que para ir a depto de matematica o por otro lado?
Claro. Subis por la escalera que está al lado del aula 14. La oficina de Graña es, ni bien subis, para la izquierda, frente al laboratorio de computación del Departamento de Física (si mal no recuerdo). Sino, vas para la derecha y mientras te mantengas en las paredes amarillas (tipo el Mago de Oz), estás en las oficinas del DM.
Saludos...
.
Muy bajonero lo que voy a decir, pero es que a pesar de que me tenía fe y confianza estoy casi seguro de que no aprobé. Ahora me anoté, por las dudas, para darlo el 28... esperemos que el nivel de dificultad no se triplique respecto al 14.
Mi pregunta es... ¿alguien tiene idea como encaja el aplazo del final en la nota de la materia? O sea... ¿cómo es el mecanismo?
Según me dijo un amigo que le paso lo mismo en análisis, te quedan las 2 notas en la materia, las 2 en la libreta. Solo se toma promedio de las 2 notas para el promedio general.
Saludos...
No se puede rendir dos veces en el mismo llamado (o sea, una sola vez entre las fechas de diciembre).
Se pasan todas la notas y se suman todas para el promedio. Por ejemplo, si te sacás un 3 en Álgebra I, después aprobás con 8, y tenés un 10 en Análisis:
Es \(\frac{3+8+10}{3}=7\), no \(\frac{\frac{3+8}{2}+10}{2}=7,75\)
Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
Gracias Sofía. Ahora entendí joya.
Saludos.
http://cms.dm.uba.ar/academico/materias ... 2-2010.pdf
ahi lo subieron el final al que le interesee
PimientaJade escribió:
Muy bajonero lo que voy a decir, pero es que a pesar de que me tenía fe y confianza estoy casi seguro de que no aprobé. Ahora me anoté, por las dudas, para darlo el 28... esperemos que el nivel de dificultad no se triplique respecto al 14.
Mi pregunta es... ¿alguien tiene idea como encaja el aplazo del final en la nota de la materia? O sea... ¿cómo es el mecanismo?
Si te presentaste para el 21 no podés volver a darlo el 28 tengo entendido :/ En Febrero podés volver a darlo recién...
Igual si vas ahora a buscar la nota, preguntá, tengo entendido que no se puede!...
Bueno al final lloré al pedo porque aprobé con 6. Fueron bastante piolas con la corrección, tanto que nos calentamos por el final. ¿Cómo les fue? Saludos y buen año!
aprobé
LTA
Che Kill, en tu demostración de transitividad del ejercicio 4) - a) usaste que si \(z \in G_{n}\) y \(w\in G_{n} \Longrightarrow z.w \in G_{n}\) ??
Esa propiedad no está en la guia, no habría que demostrarla en el final??
Mmmmm, más o menos era eso.
Creo que elevando a la \(8\) de los dos lados de la igualdad sale. Y te queda lo buscado...
Saludos.
Igual Anarky para convencerte mira esto:
$${z}\in{{G}_{n}} \Leftrightarrow{{z}^{n}=1}$$
Análogamente, \({w}\in{{G}_{n}} \Leftrightarrow{{w}^{n}=1}\)
Luego \({(z.w)}^{n}= {z}^{n} . {w}^{n}= 1 . 1= 1 \Leftrightarrow {{z.w}\in {{G}_{n}}}\)
Fijate también que \({z}\in{{G}_{n}} \wedge {w}\in{{G}_{n}} \Rightarrow{{z.w}\in{{G}_{n}}}\) vale siempre, pero la vuelta no.
Editado 1 vez.
vale siempre que \(w\neq \bar{z}\) 😄
nico_valle escribió:
Igual Anarky para convencerte mira esto:
$${z}\in{{G}_{n}} \Leftrightarrow{{z}^{n}=1}$$Análogamente, \({w}\in{{G}_{n}} \Leftrightarrow{{w}^{n}=1}\)
Luego \({(z.w)}^{n}= {z}^{n} . {w}^{n}= 1 . 1= 1 \Leftrightarrow {{z.w}\in {{G}_{n}}}\)
Fijate también que \({z}\in{{G}_{n}} \wedge {w}\in{{G}_{n}} \Rightarrow{{z.w}\in{{G}_{n}}}\) vale siempre, pero la vuelta no.
Claro, estaba pensando en poner eso precisamente jaja
O quizás lo pensaste así:
$$w\cdot{a^{-1}}=w\cdot{a^{-1}}\cdot{z\cdot{z^{-1}}}=w\cdot{z^{-1}}\cdot{z\cdot{a^{-1}}}$$
$$w\cdot{a^{-1}}=w\cdot{z^{-1}}\cdot{z\cdot{a^{-1}}}$$
$${(w\cdot{a^{-1}})}^{8}={(w\cdot{z^{-1}}\cdot{z\cdot{a^{-1}}})}^{8}={(w\cdot{z^{-1}})}^{8}\cdot({z\cdot{a^{-1})}^{8}=1.1=1\Longrightarrow w\cdot{a^{-1} \in {G}_{8}$$
Exactamente eso:
Kill escribió:
Creo que elevando a la 8 de los dos lados de la igualdad sale. Y te queda lo buscado...
PimientaJade escribió:
Bueno al final lloré al pedo porque aprobé con 6. Fueron bastante piolas con la corrección, tanto que nos calentamos por el final. ¿Cómo les fue? Saludos y buen año!
Idem 😄 6! jeje
saludos gente!