5)_ Sean 3 Números Pertenecientes a los complejos tales que la suma de estos 3 números es igual a 1 y la suma de sus inversos tambien da 1, probar que siempre uno de estos tres numeros es igual a 1.
Sugerencia: Armarse un polinomio mónico que tenga a estos 3 números como raices para probar lo pedido.
Tema
Ejercicio 5 Fina 21/12/2010 (NO RESUELTO)
Sean \(z_{1}, z_{2} y z_{3}\) los números del enunciado.
Entonces me armo el polinomio mónico \(P(x)=(x-z_{1})(x-z_{2})(x-z_{3})\)
Puedo reescribir \(P\) como:
$$P(x)=x^{3}-x^{2}(z_{1}+z_{2}+z_{3})+x(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3})-z_{1}z_{2}z_{3}$$
Ahora usamos lo que sabemos:
$$i)z_{1}+z_{2}+z_{3}=1$$
$$ii)\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}=1$$
de \(ii)\) se deduce que \(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}=a\)
Entonces \(P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-a=x^{2}(x-1)+a(x-1)\)
de donde \(x=1\) es raíz del polinomio. Pero partimos suponiendo que las raíces eran \(z_{1}, z_{2} y z_{3}\) . Luego alguna de ellas vale \(1\)
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
por favor posteen el final completo!
Aqui está posteado: LINK!
no puedo creer cómo no se me ocurrió el último paso!!
algo tan simple como sacar factor común
