Tema
Sea w una raíz quinta de -1 (w != -1). Calcular
w^14 - 5 w^20 - w^23 + w^56 - (wconjugado)^73
Ayuda! 🙁
Even diamonds start as coal...
Lo que yo hice:
Si w^5 = -1 => w^10 = 1 (w es una raíz décima de 1).
Entonces tomo congruencia módulo 10 en los exponentes, me queda:
w^4 - 5 - w^3 + w^6 - w^7
Al margen, por ahí tengo anotado que w conjugado es w^(-1) solo si w es primitiva, ¿esto es así? Porque en este caso w no es necesariamente primitiva, pero si vale lo anterior, no sé qué hacer con ese w conjugado u_u
Bueno, ahí me quedé un poco trabada, pensé que si w^5 es -1, entonces w^6 es -w, y w^7 es -w^2 (no sé si está bien...) y me quedó:
-5 - w + w^2 - w^3 + w^4 (bastante lindo, lástima por los menos)
Y creo que inventé unos cuantos teoremas así que lo dejé ahí jajaja alguno me podría dar una mano??
Gracias =D
Editado 1 vez.
(W conjugado)^k= W^(-k)=W^(n-k) para todo W perteneciente a Gn. No es necesario que sea primitiva.
Ok buenísimo, gracias! =)
¿Lo que sigue está bien?
-5 - w + w^2 - w^3 + w^4 =
Sí si, a mi me dió lo mismo y lo hice de otra manera.
nico_valle si no es mucha molestia, podrias decirnos como fue que llegaste a ese resultado?
Como w^5= -1 , entonces -(w^5)=1 y además w^10 = 1. Entonces w pertenece a G10.
Pero -(w^5)=(-1). (w^5)= (-1)^5 . (w^5)= (-w)^5 = 1. Por lo tanto (-w) pertenece a G5. Y como w es distinto de -1, entonces -w es distinto de 1.
Tomando congruencia módulo 10 en los exponentes:
w^14 - 5 . w^20 - w^23 + w^56 - (w conjugado) ^73 = w^4 - 5 . 1 - w^3 + w^6 - w^7
Ahora tratemos de operar para hacer aparecer -w en vez de w
Esta es la parte más imaginativa del ejercicio ( y que tranquilamente puede ser que esté mal) :
w^4 - 5 - w^3 + w^6 - w^7 = (-w)^4 - 5 + (-w) ^3 + (-w)^6 + (-w)^7
Ahora operemos en G5, puesto que -w es raíz quinta de la unidad:
(-w)^4 - 5 + (-w) ^3 + (-w) + (-w)^2 = (-w) + (-w)^2 + (-w) ^3 + (-w)^4 - 5 + 1 -1 =(-w) + (-w)^2 + (-w) ^3 + (-w)^4 +(-w)^5- 5 -1
Como (-w) es distinto de 1, entonces (-w) es primitiva. Por lo tanto:
(-w) + (-w)^2 + (-w) ^3 + (-w)^4 +(-w)^5 - 5 -1 = 0 -5 - 1 = -6.
vicky, lo que no entiendo de tu resolución es cómo pasás de 0 + 2(1 + w^2 + w^4 - 3) a 2. (-3)
nico_valle escribió:
vicky, lo que no entiendo de tu resolución es cómo pasás de 0 + 2(1 + w^2 + w^4 - 3) a 2. (-3)
Sí... después me quedé pensando y creo que está mal.
Yo tomé (1 + w^2 + w^4) lo tomé como (w^2)^0 + (w^2)^1 + (w^2)^2 que sería G2... y supuse que la suma de las raíces era 0. Pero la sumatoria te queda:
((w^2)^3 - 1) / (w^2 - 1) y eso es cero si w^6 es 1... esto vale para w= -1 que es justo lo que nos dicen en el enunciado que no vale :S
Mmm ahora veo tu resolución y veo si me cierra, que raro que hayamos llegado al mismo resultado porque por lo visto lo mío está mal! xD