Dejo un final. Lo empece a hacer y me surgieron dudas en el primero mas que nada de redaccion.. y el segundo no lo pude rematar...
Los otros todavia no intente.
Saludos y gracias
Tema
[A Resolver] Final 17/05/02
el \(1)\)
Reflexividad:
$$z+\bar{z}=2Re(z) \in \mathbb{R}$$
**Simetria:
**
Por conmutatividad de la suma.
**Transitividad:
**
Supongamos que \(z\Re w\) y que \(w\Re c\)
Luego: \(z+\bar{w}\in \mathbb{R}\) y \(w+\bar{c} \in \mathbb{R}\)
Quiero ver que \(z\Re c\). Esto es: \(z+\bar{c} \in \mathbb{R}\)
Pero \(z+\bar{c}=z+\bar{w}+w+\bar{c}-\bar{w}-w=z+\bar{w}+w+\bar{c}-(\bar{w}+w) \in \mathbb{R}\)
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Editado 1 vez.
Pero Kill, en el 3ro te piden el resto de dividir por \(11\) a la productoria de TODOS los divisores positivos de \(23.5^{32}\), no sólamente a \(23.5^{32}\).
Tenes razón. 😄
Por apresurado me pasa. Ahora lo leo bien y veo que onda 😛
Gracias.
Sino me equivoco la onda sería así:
Los divisores positivos son:
$$1, 23, 5^{i}, 23\cdot{5^{i}}$$
Con \(i\) variando desde \(1\) hasta \(32\)
jaja. Me da paja escribirlos. O sea, los divisores son \(1, 23\), todas las potencias de \(5\) hasta \(32\) y el producto de \(23\) por cada una de las potencias.
Esto está bien o ya la re flashee? Si es asi, cuando se hace el producto, quedan potencias pares de \(5\) hasta \(64\)?
Gracias por sus comentarios.... me gustaria saber si la justificacion es suficiente para un final
o si tengo que tener en cuenta otras cosas que "escribir" para que este bien.
el \(1)\) lo pense asi... y
$$$Que $z \sim w \Longleftrightarrow z + \overline{w} \in \mathbb{R}$, es lo mismo que pedir que $Im(z) = Im(w) $$$
(Esto es correcto?)
$$\underline{Reflexibilidad:}$$
$$z \sim z \Longleftrightarrow Im(z) = Im(z) $Lo que es cierto $\forall \;z \in \mathbb{C}$$
$$\underline{Simetria:}$$
$$z \sim w$ y $\implies w \sim z$. Luego $ z \sim w \Longleftrightarrow Im(z) = Im(w) \Longleftrightarrow Im(w) = Im(z) \implies w \sim z$$
$$\underline{Transitividad:}$$
$$z \sim w$ y $w \sim v \implies z \sim v.$$
\($Entonces $z \sim w \Longleftrightarrow (1) \; Im(z) = Im(w)$ y $w \sim v \Longleftrightarrow (2) \; Im(w) = Im(v) \implies$ reemplazo (2) en (1) y queda que $Im(z) = Im(v) \implies z \sim v\)
el \(2)\) me salio asi...
\($Los ${Div}_{+}( 23\cdot{5}^{32} ) = \lbrace \prod {23}^{\alpha}\cdot{5}^{\beta}$, con $ \alpha,\; \beta \in \mathbb{N}, \; 0 \leq \alpha < 2$ y $ 0 \leq \beta < 33 \rbrace\)
$$\textrm{Como nos pide el producto de los divisores, vemos que nos va a quedar algo de la forma...}$$
$$$Tomando $\alpha = 0$ y movemos $ \beta$, entonces $$$
$${23}^{0}.{5}^{0} \cdot {23}^{0}.{5}^{1} \cdot {23}^{0}.{5}^{2}\cdot ... \cdot{23}^{0}.{5}^{n} = {5}^{1 + 2 + 3 + ... + n} = {5}^{\frac{n(n + 1)}{2}} = {5}^{528}$$
$$$Y ahora fijamos $\alpha = 1$ y movemos $\beta$ nuevamente, nos queda $$$
$$\textrm{{23}^{1}.{5}^{0} \cdot {23}^{1}.{5}^{1} \cdot {23}^{1}.{5}^{2} \cdot ... \cdot {23}^{1}.{5}^{n} = {23}^{1 + 1 + 1 + ... + 1 }.{5}^{1 + 2 + 3 + ... +n} = {23}^{n}\cdot{5}^{\frac{n(n + 1)}{2}} = {23}^{32}\cdot{5}^{528}$}$$
$$\textrm{Si llamamos \gamma$ al producto de todos los divisores positivos de $23\cdot{5}^{32}, entonces$}$$
$$\gamma = {5}^{528}\cdot{23}^{32}\cdot{5}^{528} = {23}^{32}\cdot{5}^{1056}}$$
$$$Entonces nos piden calcular el ${r}_{11}(\gamma)$$
$$\textrm{$Como $11$ es primo y $11 \perp 23$ y $ 11 \perp 5$ usamos el Pequeño Teorema de Fermat$$}$$
$${23}^{32}\cdot{5}^{1056} {\equiv}_{(11)} {1}^{32} \cdot {5}^{10\cdot105}\cdot{5}^{6} {\equiv}_{(11)} {5}^{6} \equiv 5 (11)$$
\($Entonces ${r}_{11}({23}^{32}\cdot{5}^{1056}) = 5\)
En el caso de que el ejercicio este bien, es suficiente justificacion para el docente?
Desde ya muchas Gracias.
Editado 1 vez.
El \(2)\) es medio raro pero a ver si es algo asi
$$$Seguramente hay que usar Induccion en $ n \in \mathbb{N}$$
$$$\underline{Base de la Induccion:}$$$
$$$Vemos si $P(1)$ es V$$$
$$$Si $ n = 1,\; {x}_{1 + 1} = {x}_{2} = 3{x}_{1} - a = 3.3a - a = 8a$, entonces tenemos que calcular $({x}_{1} : {x}_{2})$$
$$$Entonces $({x}_{1} : {x}_{2}) = ( 3a : 8a )$ y como $ 3 \perp 8$, luegov$ ( 3a : 8a ) = a$$
$$$\underline{Paso Inductivo:}$$$
$$$Suponemos entonces $P(n)$ verdadera y queremos ver: P(n) \implies P(n + 1)$$
$$$Nuestra Hipotesis Inductiva es entonces que ({x}_{1} : {x}_{n}) = a$$
$$$Tomamos $({x}_{1} : {x}_{n + 1}) = (3a : 3{x}_{n} - a) = d$, con $d \in {\mathbb{Z}}_{>0}$$
$$$Como $ d \mid 3{x}_{n} - a \implies d \mid 9{x}_{n} - 3a$$
$$\begin{Bmatrix} d \mid 3a \\ d \mid 9{x}_{n} - 3a \end{matrix} \imples d \mid 9{x}_{n} - 3a + 3a$, luego $d \mid 9{x}_{n}$$
$$$Como $ \begin{Bmatrix} d \mid 3a \\ d \mid 9{x}_{n} \end{matrix} \implies d \mid (3a : 9{x}_{n})$$
$$(3a : 9{x}_{n}) = ({x}_{1} : 9{x}_{n})$$
Aca nose bien como rematar... si es que lo anterior es correcto. Si aplico la HI nose si se puede con el 9 ahi dando vueltas.
Gracias de antemando.
Saludos
Intento del \(4)\)
\($Lo de siempre... use que $\vert w \vert = 1$ segun el enunciado. Y que $ \vert \overline{w} \vert = \vert w \vert\)
$$\underline{Modulo:}$$
$${\vert z \vert}^{6} = 2 \vert \frac{\overline{w}}{{w}^{2}} \vert = 2\vert \frac{1}{w} \vert$ entonces $ \vert z \vert = \sqrt[6]{2}$$
$$\underline{Argumento:}$$
$$6Arg(z) = Arg(2) + Arg(\frac{\overline{w}}{{w}^{2}}) - 2k\pi$$
$$6Arg(z) = Arg(\overline{w}) - Arg({w}^{2}) - 2k\pi$$
$$6Arg(z) = - Arg(w) - 2Arg(w) - 2k\pi$$
$$6Arg(z) = - 3Arg(w) - 2k\pi$$
$$Arg(z) = \frac{-21\pi - 8k\pi}{24}$$
\($con $ k \in \mathbb{Z}, -3 \geq k > -9\)
Algo de esto estara bien?
Salufdos
ojo que Z=0 es solución eh
Si si, ya sabia pero me olvide de ponerlo... lo mismo me paso en el parcial :S.
El de polinomios no me sale ni ahi!!!!
Hasta donde llegaste? Con los datos que te dan sobre esas 2 raices podés saber cuales son sin tocar nada más. Me parece que serían \(1+\sqrt{2}i\) y \(1-\sqrt{2}i\) y con eso le bajás el grado a 3 y ves como la seguís desde ahí.
Y con Gauss sacas que otra es \(-1\) y ya te queda un grado 2 que lo haces con la fórmula para la cuadrática...
Anarky... como llegaste a esas raices? Sos vidente?
Nooo me quiero volver chango.... antes habia armado el polinomio de esas raices pero sin conocerlas... o sea con los datos que daban me arme el polinomio de grado 2... pero me confundi al dividir....
Son casi las 24.... si hubiera dividido bien a las 6 o 7 hubiera terminado kyaaa que bolu%&!!!!
Bueno... si alguien puede decirme si los demas ejercicio estan bien argumentados para un final se agradecera... y bueno terminar el que me falta.
Gracias por todo.
jaja vidente? nooo!
Resolví el sistema nomás:
$$a+b=2$$
$$a.b=3$$
Consejos para el 2:
-
Se puede encontrar una formula cerrada para la sucesion
-
Otro camino distinto es calcular \((x_n:x_{n+1})\) y usar esta informacion para obtener lo que te piden
Firma
Quimey