Tema
Corresponde a la cursada del 1° cuatrimestre del 2010, cuyos cursos teóricos fueron dados por los profesores Susana Puddu, Jorge Guccione y Juan Jose Guccione.
Éste final estuvo a cargo de los Guccione, Puddu no estuvo en ésta fecha.
Saludos.
Mike.
Agradecería si alguien puede resolver el 1) y el 4)
Problema 1
Hallar la clase de equivalencia de \(4\) significa hallar todos los \(m \in \mathbb{N}\) tales que \(4\) está relacionado con \(m\), es decir, tales que \(16 = 2^4 \equiv 2^m \pmod {17}\).
Si miramos los restos de las potencias de \(2\) en la división por \(17\), obtenemos la sucesión \(1,2,4,8,16,15,13,9,1,2,...\), que es periódica con período \(8\).
Luego, la clase de equivalencia de \(4\) son todos los números congruentes a \(4\) módulo 8, o sea todos los \(m\) de la forma \(8k+4\) con \(k \in \mathbb{N}_0\).
Problema 2
(a) Supongamos que existe algún primo \(p\) tal que \(p \mid a\) y \(p \mid d\). Como \(d \mid a+11\), también \(p \mid a+11\), luego como \(p \mid a\), tenemos \(p \mid 11\), es decir \(p = 11\). Pero entonces \(a\) es divisible por \(11\), lo cual no puede ser porque el enunciado dice que \(a\) es coprimo con \(22\). Luego no existe tal primo \(p\), y concluimos \((a:d)=1\).
(b) Tenemos que \(d\) divide a \(3a^4 - a^3 = a^3(3a-1)\), luego, como ya probamos que \(d\) es coprimo con \(a\), se deduce que \(d \mid 3a-1\). Además tenemos \(d \mid a+11\), luego, \(d \mid 3a+33\). Restando, obtenemos \(d \mid (3a+33) - (3a-1) = 34\). Así que \(d\) es un divisor de \(34\). Sólo nos falta ver que es par, pero esto es claro pues como \(a\) es coprimo con \(22\), es impar, y por lo tanto, \(3a^4 - a^3\) y \(a+11\) son pares. Entonces \(d=2\) ó \(d=34\), como queríamos.
Además, \(d=34\) si y sólo si \(3a^4 - a^3\) y \(a+11\) son divisibles por \(17\).
Para que \(a+11\) sea divisible por \(17\), debe ser \(a \equiv 6 \pmod{17}\). En este caso, es \(3a^4 - a^3 = a^3(3a-1) \equiv 6^3 \cdot 17 \equiv 0 \pmod{17}\).
Concluimos que si \(a \equiv 6 \pmod{17}\), \(d=34\), y en cualquier otro caso es \(d=2\).
Problema 3
Advertencia: En esta solución voy a cometer la bestialidad (!) de decir que un número complejo tiene argumento negativo, pero van a ver que diciéndolo así va a quedar mucho más claro. Sólo hay que tener en cuenta que trabajar con argumentos en complejos es como mirar las cosas "módulo" \(2 \pi\).
La observación crucial es que el número complejo por el que se multiplica en cada paso tiene argumento igual a \(-\frac{\pi}{4}\). En efecto, el argumento de \(1+i\) es \(\frac{\pi}{4}\), y el de \(i\) es \(\frac{\pi}{2}\), luego el argumento del cociente es \(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}\). (Multiplicar por \(3\) no cambia el argumento).
Como el \(z_1\) tiene argumento \(\frac{\pi}{2}\), la sucesión de los argumentos de los \(z_n\) es \(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, 0, \frac{7\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}, \pi, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}...\).
Entonces, por ejemplo, ya sabemos que los posibles argumentos de \(z_n\) cuando \(n \equiv 1 \pmod 4\) son \(\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{3\pi}{2}\). En ambos casos se cumple que \(\arg(z_n^2) = \pi\).
Análogamente se ve que se cumple lo pedido para los otros restos módulo \(4\).
Problema 4
Sabemos que \(P\) se puede escribir como \(a(x-z_1)(x-z_2)\), donde \(z_1,z_2\) son las raíces de \(P\) y \(a\) es el coeficiente principal. Ahora bien, \(a(x-z_1)(x-z_2) = ax^2 -a(z_1+z_2)x + az_1z_2\). Como \(P\) tiene coeficientes racionales, tenemos que \(a(z_1+z_2)\) y \(az_1z_2\) son racionales, pero como \(a\) es racional, esto es equivalente a que \(z_1+z_2\) y \(z_1z_2\) sean racionales.
Con esto ya está la primera parte del problema: como \(z_1z_2\) es racional, \((z_1z_2)^n = z_1^nz_2^n\) también lo es.
Para la segunda parte, procedemos por inducción. Ya vimos que para \(n=1\), \(z_1^n + z_2^n\) es racional, y trivialmente esto también se cumple para \(n=0\). Supongamos que se cumple para \(k-1\) y para \(k\). Notemos que \(z_1^{k+1} + z_2^{k+1} = (z_1^k + z_2^k)(z_1 + z_2) - z_1z_2(z_1^{k-1} + z_2^{k-1})\), y todo lo que hay en el segundo miembro es suma y producto de racionales, ya sea por hipótesis inductiva o por lo que probamos al principio. Luego, el resultado también vale para \(k+1\). Esto completa el paso inductivo, y la solución.
Matías escribió:
En efecto, el argumento de \(1+i\) es \(\frac{\pi}{4}\), y el de \(i\) es \(\frac{\pi}{2}\), luego el argumento del cociente es \(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}\).
Cómo sabés que el argumento del cociente es eso? Según pensaba, arg(z.w) = arg(z) + arg(w) - 2k\({\pi}\)
Alguien me puede explicar un poco este ejercicio?
Gracias!!
en el ejercicio 1...xq toman modulo 8?
a mi me quedo n congruente a 4 mod 17 ò n congruente a 12 mod 17
aplique tabla de resto
Tene cuidado que cuando usas la tablita usas modulo 16 no modulo 17...
Luego es modulo 8 porque si te fijas en los resultados de la tabla los valores se repiten
con periodo 8... y el que te sirve es el 4 entonces te queda \(n \equiv 4 (8)\)
Fijate que vos decis n \equiv 4 (16) o n \equiv 12 (16) que tambien esta bien
Que es lo mismo que n = 8k + 4, con k = 0 y k = 1
Espero haberte ayudado.
por que tomas modulo 16 y no 17?
creo entender q es por fermat, pero no tendria q dar lo mismo tomando modulo 17?
gracias!
alguien me podria explicar como resolvieron el ejercicio 2 a ?
muchas gracias
Porque si d=34 esas dos cosas deben ser divisibles por 17? No me quedó claro. Gracias!
carmen escribió:
Porque si d=34 esas dos cosas deben ser divisibles por 17? No me quedó claro. Gracias!
Llamemos \(b={a}^{4}-{a}^{3}\, , \, c=a+11\) para escribir menos.