Hola, posteo el final que rendí hoy
Dejo para quien quiera poner las resoluciones.
\(1) \,Sea \,A =\lbrace0, 1, 2, 3, 4, 5\rbrace \,y\, sea\, R\,la \,siguiente\,relacion\,definida\) \(\,en\, el\, conjunto\, B\, de \,funciones\, de\, A \,en\, A:\)
$$fRg \,si \,y \,solo \,si \,f(x)\leq g(x)\, \forall x\, en \,A$$
$$i)\,Probar\, que\, R\, es\, una\, relacion\, de\, orden\, en\, B$$
$$ii)\,Sea\, h\, en\, B\, definida \,por\, h(x)={r}_{6}(5x)$$
$$Calcular\, el\, numero\, de \,elementos\, g\, en \,B \,tales\, que\, hRg$$
$$2)\,Probar\,que:$$
$$\sum_{j=0}^{m}j\left(\begin{matrix}m \\ j\end{matrix}\right)=\,m{2}^{m-1}$$
$$\forall\,m\geq0$$
$$3)\,Un\,numero \,entero\, se \,dice \,libre \,de \,cuadrados \,si \,y \,solo\,si\,1\,es\,el\,unico\, cuadrado\, perfecto \,que\, lo\, divide.\, Probar \,que \,todo\, n\, \in\mathbb{N}\, se \,expresa \,de\, manera \,unica \,en\, la \,forma\,\, n={a}^{2}b \,\,donde\, a,\, b\,\in\mathbb{N} \,y \,b\, es\, libre \,de \,cuadrados.$$
$$4)\, Factorizar\, en\, \mathbb{Q}[x],\,\mathbb{R}[x]\,y\,\mathbb{C}[x]\, el \, polinomio:$$
$$f= {x}^{6}-{6x}^{5}+{14x}^{4}-{8x}^{3}-{14x}^{2}+10x+7$$
$$sabiendo\, que\, tiene\, dos\, raices\, multiples\, \alpha\,y\,\beta\,tales\,que\,\alpha+\beta=1\, y\, \alpha\beta=-1$$
$$5)\,Sea\,z\,una\,raiz\,18-esima\,primitiva\,de\,1.\,Determinar\,los\,n\,\in\,\mathbb{N}\,\,tales\,$$
$$que\,{z}^{4n}\,\in\,{G}_{12}.$$
Firma
Nina
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