Primero que nada, según anoté yo, las notas se entregan en la oficina 2087, de 11 a 15 hs.
Y otra cosa, justo terminé de postear el mismo final unos minutos antes jejee ... re coincidencia! Igual tenía mal copiado el 1 así que directamente borro mi topic, pero copio acá lo que escribí:
"Con respecto al examen, me pareció que algunos enunciados (por ej, el 3) eran un poco confusos; es decir eran fáciles pero daba a entender otra cosa. Por ejemplo, cuando terminé el ejercicio 3, me daba que sólo si n era par entonces el MCD no era 1. Pero me puse a pensar en lo que decía el enunciado: "para infinitos n", y después de unos minutos me di cuenta de que en realidad estaba bien lo que había hecho, o sea probé que el MCD es distinto de 1 para el conjunto INFINITO de pares; yo creía que al final me tenía que quedar que el MCD era distinto de 1 para TODO n natural... O sea el enunciado por ahí fue claro, pero yo lo malinterpreté; igual lo pude arreglar 🙂..."
Con respecto a las resoluciones, el ejercicio 2 también llegué a la misma fórmula y era fácil de probarla. El ejercicio 3 no me quedó igual que vos; me daba que si 3 dividia al MCD entonces n era par. Después para módulo 7 me daba que 7 dividia al MCD cuando \(n \equiv 4 (6)\) si no me equivoco. Y conclui que el MCD podia ser 3 o 21 siempre que n fuera par; o sea para todo n par me daba el MCD \(\neq 1\)... Igual no sé si está bien.
En el ejercicio 4 tambien usé cambio de variable como vos.
Con respecto al 1 y al 5 no los hice; el 5 lo empecé pero no lo entregué y el 1 ni idea..
Mmm no se igual si apruebo, xq me di cuenta despues de q escribi mal la rta del ej 4, el del polinomio, la embarré olimpicamente diciendo q las raices del polinomio son dos de las raices sextas, y en realidad esas raices q estaba mirando eran las del polinomio cuando cambie la variable, o sea no estaba mirando las raices originales... 🙁
Pero bueno, espero q con 2 bien y este mas o menos tirando a mal apruebe.. 😕 aunq pido mucho.. Encima ésta es la 3a vez q lo rindo..
Asi q suerte igual para la prox a vos, q se puede; es una materia copada pero los finales son de lo mas variado y nunca sabes lo que te puede tocar.. Pero dale para adelante!!! Igual nada esta perdido, hay q esperar la nota el martes!
Determinar el numero de funciones estrictamente crecientes para
\(f: \{1,2....,12\} \rightarrow \{1,2....25\}\) tal que \(f(6)=13\)
Bueno en primer lugar tenemos que elegir quiénes van a ser \(f(1), f(2), ..., f(5)\). Como la función es estrictamente creciente, estos números deben ser distintos y menores que 13. Además, una vez que elegimos los 5 números, hay una sola forma posible de ordenarlos (de menor a mayor, claro). Hay \(\binom{12}{5}\) formas de elegir estos números.
Ahora de nuevo lo mismo, tenemos que elegir quiénes van a ser las imágenes de 7, 8, ..., 12, que tienen que ser 6 números mayores que 13. Luego hay \(\binom{12}{6}\) formas de elegirlos.
La respuesta al problema es el producto de esos dos combinatorios.
Si estoy leyendo bien, lo que dice el problema es que para todo \(z \in \mathbb{C}\), la multiplicidad de \(z\) como raíz de \(f\) es menor o igual a la la multiplicidad de \(z\) como raíz de \(g\).
Primero, vemos que no puede ser que \(f\) tenga una raíz que no sea raiz de \(g\), pues sino \(mult(z, f) \ge 1\) y \(mult(z, f) \le 0\). Entonces todas las raíces de \(f\) son raíces de \(g\). Pero todos los exponentes de las raíces de \(f\) son menores o iguales a los de las raíces correspondientes de \(g\), entonces \(f\) divide a \(g\)?
En otras palabras, asumiendo sin pérdida de generalidad que son mónicos, \(f(x) = \prod_{i = 0}^r (x-z_i)^{\alpha_i}\), \(g(x) = \prod_{i=0}^{r+k} (x-z_i)^{\beta_i}\), con \(1 \le \alpha_i \le \beta_i\ \forall\ 0 \le i \le r\) y \(i \ne j \Rightarrow z_i \ne z_j\ \forall\ 0 \le i, j \le r+k\), con \(k \in \mathbb{N}_0\). Entonces \(f\mid g\). Si no se vé se puede decir que \(f = mcm\{(x-z_0)^{\alpha_0}, (x-z_1)^{\alpha_1}, \cdots, (x-z_r)^{\alpha_r}\}\), pero \((x-z_i)^{\alpha_i} \mid g\ \forall\ 0 \le i \le r\), entonces el \(mcm\) también divide a \(g\), entonces \(f\mid g\).
No comprendo como no me di cuenta el termino general del 2 🙁
Solo hice el 1 y el 3... El uno lo hice como escribió mati, y el 3 me dio algo similar a ustedes, como solo había que poner un subconjunto infinito de n tal que el MCD sea distinto a uno, puse el grupo de los numeros pares, ya que si n era cualquier numero par entonces el mcd NO era uno...
UNA PREGUNTA, con cuantos ejercicios se aprueba??? Teóricamente los finales se aprueban con 4 no? O sea con 2 ejercicios bien se podria considerar aprobado??
Yo aprobé, pero ahi nomas (un 4).. Igual era la tercera vez que rendia el examen, asi q no te bajonees que se aprueba la materia si o si en algun momento.
Una pregunta, en el punto 4) el polinomio es así con el "-" antes del x^3? : \({x}^{6}-{x}^{3}+1\)
Sí es así no se como sale...alguien me daría una ayuda?
Una pregunta, en el punto 4) el polinomio es así con el "-" antes del x^3? : \({x}^{6}-{x}^{3}+1\)
Sí es así no se como sale...alguien me daría una ayuda?
Saludos!
Una ayuda. Fijate lo que pasa si lo multiplicas por \(x^3+1\)...
Nota Posteado: 18 Jul 2010, 03:02
Una ayuda. Fijate lo que pasa si lo multiplicas por \(x^3+1\)...
Gracias! 🙂
A partir de tu ayuda creo que lo saqué (abajo pongo lo que pensé, a ver si está bien) pero además volví a ver lo que había pensado y vi que llegaba a lo mismo (con mucho más desarrollo xP), pero estaba haciendo mal una cuenta!...Así que muchas gracias Roprgm porque me re sirvió!!
Ahora...¿cómo se te ocurrió multiplicar por eso?!!. Ese es mi mayor problema, que a mi no se me ocurren esas cosas...
Bueno, esto es lo que hice:
4)
\((x^6-x^3+1).(x^3+1) = x^9+1\)
Entonces todas las raíces de \((x^6-x^3+1)\) serán raíces de \(x^9+1\)
Pero si analizo las raíces de \(x^9+1\),
sea \(\alpha\) una raíz de ese polinomio, \({\alpha}^9 =(-1)\)
Entonces \(({\alpha}^9)^2 =(-1)^2\)
$${\alpha}^{18}=1$$
Entonces \(\alpha\) es una raíz 18-ésima de la unidad, para toda \(\alpha\) raíz del polinomio \(x^9+1\). Pero como las raíces de \((x^6-x^3+1)\) también son raíces de \(x^9+1\), entonces las raíces de \((x^6-x^3+1)\) serán raíces 18-ésimas de la unidad.
$$\textrm{Muchachos! que onda con el ej 2, a mi me dio }a_n=n^2$$
$$a_0=0$$
$$a_1=0 + 2.1-1 = 1$$
$$a_2=1 + 2.2-1=4$$
$$a_3=4 + 2.3-1=9$$
$$a_4=9 + 2.4-1=16$$
$$a_5=16+ 2.5-1=25$$
$$a_n=n^2$$
$$Demo:\\ \textrm{Quiero llegar a : }a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1\\ \textrm{Si sumo 1 al indice de la ecuacion que me dan: }a_{n+1}=a_n+2n+2-1=a_n+2n+1\\ \textrm{reemplazo }a_n \textrm{ por } n^2 \textrm{ y queda: } a_{n+1}=n^2+2n+1\\ \textrm{Y ses fini}\\ \textrm{N.A: Si no quieren sumarle 1 al indice tambien llegas a que }a_n=n^2\textrm{ porque se simplifica todo menos el } n^2$$
Y si no me doy cuenta de multiplicar por eso el polinomio, como lo saco? yo saco las raices con sustitucion y despues no se para donde seguir 🙁
gracias!
A Frank le quedó eso. Yo llegué a lo de n congruente a 0 modulo 2. Creo que con eso bastaba igual como fue dicho arriba. Si n es par ya te queda el MCD distinto de 1. O sea que existen infinitos n que cumplen lo pedido. Saludos...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
