Sean \(a, b, c\) complejos tales que \(a+b+c=1\), \(a^2+b^2+c^2=3\), y \(1/a + 1/b+1/c=-1/10\)
\(i)\) Hallar el polinomio f de Q[X] monico de grado 3 cuyas raices sean a, b y c.
\(ii)\) Factorizar ese polinomio en Q[x], R[X] y C[X]
La parte i) sale fácil haciendo \(f=(x-a)(x-b)(x-c)\) y haciendo un par de cuentas queda que \(f=x^3-x^2-x-10\)
El problema está en la parte ii)
Por el lema de gauss no tiene ninguna raiz en Q[X], pero para factorizar en R[X] o C[X] no se me ocurre absolutamente nada para hacer. ¿alguna idea?
no sè que idea planteaste ahi cuando facortizaste \(f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\). o sea no està mal pero no es un camino muy lindo para seguir....
te conviene usar las relaciones de tomar las sumas de las raìces de a uno, de ados de a tres y ver què coeficiente te da... o sea...
$$a+b+c=-\frac{a_2}{a_3}$$
$$ab+ac+bc=\frac{a_1}{a_3}$$
$$abc=\frac{a_0}{a_3}$$
si lo hiciste asì revisà las cuentas porque no puede no darte ninguna raìz entera porque como es de grado tres, tiene que tener al menos una raìz real porque si tiene complejas viene de apares conjugados (coeficientes enteros) si bien ahì tenès una opciòn vàlida, no creo que te den a factorizar un polinomio con una raìz real muy exòtica....
Gracias
Revisé las cuentas y tenía un error de signo
El polinomio dá \(f=x^3+x^2-x-10\) (signo cambiado en \(x^2\))
Después por Gauss sale que 2 es raíz y después queda una cuadrática que se factoriza en complejos sin problemas.
Buenas.
Utilizando \({a}+{b}+{c}\) , \({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\) y \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) no logre obtener \({a}.{b}.{c}\).
Llegue cerca planteando:
\(\left( {a}+{b}+{c} \right) + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{\left( {a} + 1 \right) . {b} . {c} + \left( {b} + 1 \right) . {a} . {c} + \left( {c} + 1 \right) . {a} . {b}}{{a}.{b}.{c}}\).
No se que hacer con el termino de arriba de mi fraccion del lado derecho! ¿Alguna idea de como deberia manejarla para llevar a depejar a.b.c en funcion de mis resultados conocidos que provee el problema?