[No Resuelto]Final(06/09/07)Ej3

Sea \(w \in \mathbb{C}\) una raiz quinta de -1. Probar que \(z = {w}^{24} + {w}^{102} + {w}^{39}\)
es una raiz quinta primitiva de 1

se me ocurrio una forma de hacerlo.

como w es raiz quinta de -1 entonces w⁵ = -1 (#)
entonces

\(z = {w}^{24} + {w}^{102} + {w}^{39} = {w}^{24}(1 + {w}^{78} + {w}^{15}) =\) usando #

bien, z es raiz quinta primitiva si y solo si \({z}^{5}=1\) y \({z}^{k}\neq1 \forall k \in \mathbb{N}, k<5\)

veamos: \({z}^{5} = {({w}^{2})}^{5} = {({w}^{5})}^{2} = {(-1)}^{2} = 1\) ok

ahora la 2º parte, como es de grado 5 voy a probar a mano que son distinto de 1
pero primero una aclaracion: como w es raiz quinta de -1, 1 no es raiz quinta de -1 pues 1^5 = 1 distinto de -1. esto lo voy a usar para probar que z^k es distinto de 1 para 1, 2, 3, 4.
\({z}^{1} = {({w}^{2})}^{1} = {w}^{2}\) es raiz quinta de -1 distinto de 1
\({z}^{2} = {({w}^{2})}^{2} = {w}^{4}\) es raiz quinta de -1 distinto de 1
\({z}^{3} = {({w}^{2})}^{3} = {w}^{6} = -w\) como w es distinto de -1 entonces -w es distinto de 1
\({z}^{4} = {({w}^{2})}^{4} = {w}^{8} = -{w}^{3}\) es distinto de 1?, osea w^3 puede ser -1
y acá me quedo. bueno no se, que dicen

Si lo podés probar me sorprendería, dado que si \(w=-1\), que es raíz quinta de \(-1\), entonces \(z = 1 + 1 - 1 = 1\), que NO es raíz quinta primitiva de 1.

JULIAN escribió:

\({z}^{1} = {({w}^{2})}^{1} = {w}^{2}\) es raiz quinta de -1 distinto de 1
\({z}^{2} = {({w}^{2})}^{2} = {w}^{4}\) es raiz quinta de -1 distinto de 1
\({z}^{3} = {({w}^{2})}^{3} = {w}^{6} = -w\) como w es distinto de -1 entonces -w es distinto de 1
\({z}^{4} = {({w}^{2})}^{4} = {w}^{8} = -{w}^{3}\) es distinto de 1?, osea w^3 puede ser -1

Disculpa pero aunque el problema no sea correcto o no pueda ser resuelto como dice JFK, no comprendo que es lo qe estas diciendo alli precisamente. ¿Podrias explicarlo un poco mas por favor?

Saludos!