Esta bien lo que hiciste hasta ahora, lo unico que te falta es:
en la sumatoria que te quedo se tiene \(i<2^{n+1}\) entonces \({1\over i}>{1\over 2^{n+1}}\) reemplazas esto, sumas y listo.
A mi se me ocurrió hacer en el paso inductivo:
\(\sum_{i=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{2.2^{n}}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i} + \sum_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i} \geq^\bullet \sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i} + \sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i}^\star\)
$$$Habr\'ia que probar $\bullet$, pero pareciera re obivo dado que estoy empezando a contar "corrido".$$
\($Entonces la primera sumatoria es mayor a $\frac{n +1}{2}$\)
Lo que me da duda es:
a) la cota, soy un queso para hacer eso
b) que yo lo probé para n=1 y me dio para todo n>1. En este caso lo lógico es probar a mano los otros casos no?
Un saludo y gracias
Fijate que los términos \(\frac{1}{i}\) decrecen cuando \(i\) aumenta... observando que \({2}^{n+1}-{2}^{n}-1\eq={2}^{n}(2-1)-1\eq={2}^{n}-1\) tenés que las dos sumas tienen el mismo número de sumandos y si te fijas, la suma del otro lado de la desigualdad tiene cada término más grande que el de la suma corrida(por la observación inicial). O sea, no vale la desigualdad.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
