Buenas gente! Me topé con este ejercicio y me trabé en probar la transitividad, reflexividad y antisimetría son casi triviales. Espero puedan ayudarme.
Sea \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) una función que cumple que cualquiera sea \(n \in \mathbb{N}\), \(n\) y \(f(n)\) son coprimos. Se define la siguiente relación \(R\) en \(\mathbb{N}\):
$$nRm \Longleftrightarrow nf(m) \leq mf(n)$$
El ejercicio pide probar que \(R\) es una relación de orden. Como dije, yo me trabé en la transitividad.
Gracias por la resolución! Creo que está bien. Me resulta raro que no se utilice ninguna hipótesis "extra", aunque estas habían sido usadas (al menos yo las usé) para probar la antisimetría...
A mí no me queda claro cómo justificar la antisimetría. Cuando digo \(nRm \wedge mRn \Longrightarrow m=n\) llego a que
\(\frac{n}{f(n)} = \frac{m}{f(m)}\) y sé que estas dos fracciones son irreducibles por ser \(n/m\) corprimos con \(f(n)/f(m)\) respectivamente. Intuitivamente se ve que si \(n \neq m\) entonces alguna de las dos fracciones debería ser reducible, pero no puedo expresarlo.