Hallar todos los \(z \in\mathbb{C}\) tales que \(|iz-1| = 2\hspace{0,3cm}y\hspace{0,3cm}(z+i)^6 = (\overline{z} - i)^6\)
Tema
Final 24/04/2006. Complejos
Una pista:
Podes resolver:
\((\frac{z+i}{\overline{z}-i})^6=1\)
Firma
Quimey
Con eso me basto. Gracias!
mmm... me está faltando un paso y no me doy cuenta, estoy re oxidado con esto y en una semana es el final :S
siguiendo la sugerencia de Quimey,
$$(\frac{z+i}{\overline{z}-i})^6=1$$
$$arg(\frac{z+i}{\overline{z}-i})^6=arg(1)+2k\pi$$
$$$Multiplico y divido por z+i para sacarme de encima el denominador:$$
$$6 .arg(\frac{z+i}{\overline{z}-i} \cdot \frac{z+i}{z+i})=2k\pi^\bullet$$
$$(\overline{z}-i) . (z+i)= (a-bi-i)(a+bi+i)=(a-(b+1)i)(a+(b+1)i) =$$
$$=a^2 + (b+1)^2 \in R$$
$$\bullet 6 .arg(\frac{z+i}{\overline{z}-i} \cdot \frac{z+i}{z+i}) =6 .arg(\frac{(z+i)^2}{a^2 + (b+1)^2})= 6arg((z+i)^2) - 6arg(a^2 + (b+1)^2) = 6arg((z+i)^2)$$
$$$Luego$$
$$6.arg((z+i)^2) = 2k\pi \Rightarrow arg(z+i) = \frac{k\pi}{6}$$
$$$Por el otro lado, la ecuaci\'on 2 nos dice:$$
$$\vert iz-1 \vert =2$$
$$\vert (a + bi).i -1 \vert = 2$$
$$\vert ai -b-1 \vert = 2$$
$$\sqrt{a^2 + (b+1)^2} =2$$
$$a^2 + (b+1)^2 = 4$$
... y ahora???
Firma
Pista quemadora:
Raices sextas de la unidad.
Buenas.
\({\left( {Z} + 1 \right)}^{6} = {\left( \overline{Z} - 1 \right)}^{6} \Rightarrow \frac{{\left({Z} + 1 \right)}^{6}}{{\left( \overline{Z} - 1 \right)}^{6}} = 1 \Rightarrow {\frac{\left({Z} + 1 \right)}{\left( \overline{Z} - 1 \right)}^{6}} = 1\)
Reemplazamos \(frac{\left({Z} + 1 \right)}{\left( \overline{Z} - 1 \right)}\) por \({W}\), Entonces:
\({W}_{k} = CIS \left( \frac{2.{k}.\pi}{6} \right)\) con \(0 \leq k \leq 5\)
$${W}_{0} = CIS 0 \Rightarrow \frac{{Z} + 1}{\overline{Z} - 1} = CIS 0$$
$${W}_{1} = CIS \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{{Z} + 1}{\overline{Z} - 1} = CIS \frac{\pi}{3}$$
$${W}_{2} = CIS \frac{2.\pi}{3} \Rightarrow \frac{{Z} + 1}{\overline{Z} - 1} = CIS \frac{2.\pi}{3}$$
$${W}_{3} = CIS \pi \Rightarrow \frac{{Z} + 1}{\overline{Z} - 1} = CIS \pi$$
$${W}_{4} = CIS \frac{4.\pi}{3} \Rightarrow \frac{{Z} + 1}{\overline{Z} - 1} = CIS \frac{4.\pi}{3}$$
\({W}_{5} = CIS \frac{5.\pi}{3} \Rightarrow \frac{{Z} + 1}{\overline{Z} - 1} = CIS \frac{5.\pi}{3}\)
¿Que hago con la ecuacion \(|{i}.{Z} - 1| = 2\) para determinar los Z a partir de aqui?
Saludos!
No me puse a resolver el ejercicio, pero si \(|i.z - 1| = 2\), entonces o \(i.z - 1 = 2\), o \(i.z-1=-2\). En el primer caso, \(i.z = 3\), con lo cual \(|z| = 3\), en el segundo, \(|z| = 1\). Fijate cuales de estas respuestas tiene que ser la cierta, tal que se cumpla lo del otro lado.
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
mmmm, mandaste fruta a morir. Que pasa si es 2i por ejemplo?
Lo que se puede hacer es despejar las 6 posibilidades para z a partir de w y despues reemplazar en la ecuacion con el modulo y quedarte con las que lo cumplan.
Si \(z=2i\), entonces \(i\cdot z = -2\), con lo cual \(i\cdot z-1=-3\), y entonces \(|i\cdot z-1|=3 \ne 2\).
Igual está mal lo que dije, tomé la definición en \(\mathbb{R}\) de módulo, pero \(i\cdot z - 1\) no tiene por que estar en \(\mathbb{R}\). Y encima lo postié a las 6 de la tarde, estaba bien despierto :s Perdón!