[No Resuelto]no tiene fecha, pero es de numeros enteros

Dice asi...

...tiene una pinta de ser facil este ejercicio..pero no me acuerdo mucho de esto (prepar un final despues de un año no es muy recomendable gente!!) aca va lo que hice...

como \(d = (3a^4 - a ^3 : a+7)\) entonces, se cumple que \(d/3a^4 - a ^3 y \; d/a+7\) entonces, d divide a cualquier combinacion lineal de ambas, es decir :
\(d/3a^4 - a ^3 y\; d/ 3a^3(a+7) \rightarrow \;d/-22a^3 \rightarrow d/ 22a^3\)luego pueden ocurrir que \(d/22 \;o \; d/a^3\) y de la ultima sale que \(d/a^3 \rightarrow d/ a\) entonces hasta ahora los valores que puede tomar d son d= +-1,+-2,+-11,+-22 (o solo los positivos) y no se como probar lo de los coprimos usando los datos q obtuve...

Hola.

Yo haría lo siguiente. Como \((a:14)=1\), resulta que \(7\) no divide a \(a\). Ahora, supongamos que \(d=(a,a+7)\), entonces resultará que \(d|(a+7)-a=7\), luego es absurdo que \(d|a\) y \(d|7\); por lo que \(a\) es coprimo con \(a+7\) y por lo tanto lo es con \((3a^4-a^3:a+7)\).

Saludos.