Tema

Sumatoria

2 respuestas 5253 visitas 2011-07-21

#1 kv310 2011-07-21 02:49

Dejo un ejercicio a ver si alguien ve la relación... porque yo no xD es decir, no veo la relación que hay entre el índice \(n\) y \(2^n\)

\textrm{ Deducir de $\sum_{i=1}^{n} i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ }

\textrm{ que $\sum_{i=1}^{2^n} i(i+1) = \frac{ 2^{3n} + 2^{2n+1} + 2^{2n} + 2^{n+1}}{3}$ }

Ya sé que por inducción se prueba, pero me piden entender la relación entre uno y otro y no la veo!

#2 kv310 2011-07-21 03:00

Me respondo, si a alguien le interesa explicar de dónde sale esto estaría bueno! porque hice las cuentas, pero fue casualidad.

Veo que \(n(n+1)(n+2) = n^3 + 3n^2 + 2n \,\, I)\)

y por otro lado \(2^{3n} + 2^{2n+1} + 2^{2n} + 2^{n+1} = (2^n)^3 + 3*(2^n)^2 + 2*2^n \,\, II)\)

entonces reemplazo en \(II)\,\, 2^n\) por \(n\) y me queda la relación.

Gracias ^^

#3 FJL 2011-07-21 05:23

La primera suma vale para todo \(n\). Entonces, en particular, vale para números de la forma \(2^n\). Luego simplemente reemplazando \(n\) por \(2^n\) la sumatoria de arriba va a seguir siendo correcta (pues \(2^n\) es un natural), y eso te da la sumatoria de abajo.

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