duda raices n-esimas

tengo una duda importante creo y necesito resolverla yaa porque manana rindooo
miren:

\(\sum_{}^{} {G}_{9} = 0\) (pongo 9 por un ejemplo, con esto quiero decir q la sumatoria de todas las raices de G9 es 0).

ahora vi ejercicios donde tenes q hacer
ejercicio 1)
calcular la suma de las primitivas de g15

ahora tambien vi ejercicios que son de este estilo
ejercicio 2)

PARA CADA \(W \in {G}_{5}\) calcular:

\(1+{w}^{1} + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4}\) y esto lo vi resuelto asi

para \(w \neq 1,\) \(1+{w}^{1} + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} =\sum_{}^{} {G}_{5} = 0\)
para \(w = 1,\)\(1+1+1+1+1 = 5\)

ahora mi pregunta es, porq en el ejercicio 2 diferencia w distinto de 1 y w igual a 1 y en el ejercicio 1 no?

No entiendo la pregunta, en el ejercicio 1) no aparece w. El teorema que citás al ppio. es cierto en general. La diferencia en el ejercicio 2) segun w sea o no sea primitiva, que justo como te lo piden para un primo eso es lo mismo que sea 1 o no.

no entiendo, fijate que en el ejercicio uno pone como que la sumatoria de las raices de Gn es 0
pero en el ejercicio 2 que es lo mismo que la suma de las raices de G5, dice como respuesta es 5 o 0 dependiendo de W. porq en el ejercicio 1 no hace la diferencia de W distinto de 1?

La suma de las raíces de \(G_n\) es 0 SIEMPRE.

Lo que no vale es que \(1+w+w^2+\dots+w^{n-1}\) sea la suma de las raíces. Eso es cierto solo para las primitivas (por definicion).

graciasssss!