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¿Como resolver esta congruencia?

3 respuestas 5286 visitas 2010-07-04

#1 Eliana 2010-07-04 15:36

Necesito encontrar todos los $a \in \mathbb(Z)$ tales que $7^{2}|a^2+21$
Cosa que pasa sii $4a^2+21\equiv0(7^2) \Longleftrightarrow 4a^2\equiv-21(7^2) \Longleftrightarrow 4a^2\equiv28(7^2) \Longleftrightarrow a^2\equiv7(7^2)$

¿Alguna idea que no involucre usar una apocalíptica tabla de restos módulo 49?

GRACIAS!!

#2 Nacho 2010-07-05 01:47

Fijate que en el enunciado dice $7^{2}|a^2+21$
Mientras que abajo pones $4a^2+21\equiv0(7^2)$
Hay un 4 que esta faltando en el enunciado o que esta demas en tu planteo

Ahora, partiendo de donde te quedaste

a^2\equiv7(7^2) \Longleftrightarrow a^2=49k+7 \Longleftrightarrow a^2=(7k+1)7

Sabemos que $a^2$ es entero porque a es entero, entonces podemos pasar el 7 dividiendo y que nos queden enteros de los dos lados.

a^2=(7k+1)7 \Longleftrightarrow \frac{a^2}{7}=7k+1

Ahora $7|a^2 \Longleftrightarrow 7|a$ porque 7 es primo Pero del otro lado nos dice que $a^2$ es de la forma $7k+1$. O sea, congruente a 1 modulo 7. Absurdo! a no puede ser entero

#3 Eliana 2010-07-06 11:25

Nacho escribió:

Fijate que en el enunciado dice $7^{2}|a^2+21$
Mientras que abajo pones $4a^2+21\equiv0(7^2)$
Hay un 4 que esta faltando en el enunciado o que esta demas en tu planteo

Sisi, el 4 falta en el planteo, my bad.

Nacho escribió:

Ahora, partiendo de donde te quedaste
$a^2\equiv7(7^2) \Longleftrightarrow a^2=49k+7 \Longleftrightarrow a^2=(7k+1)7$ **Sabemos que $a^2$ es entero porque a es entero, entonces podemos pasar el 7 dividiendo y que nos queden enteros de los dos lados.** $a^2=(7k+1)7 \Longleftrightarrow \frac{a^2}{7}=7k+1$ Ahora $7|a^2 \Longleftrightarrow 7|a$ porque 7 es primo Pero del otro lado nos dice que $a^2$ es de la forma $7k+1$. O sea, congruente a 1 modulo 7. Absurdo! a no puede ser entero

No entiendo lo que está en negrita. Si $a \in \Mathbb{Z} \Rightarrow a^{2} \in \Mathbb{Z}$ hasta acá todo perfecto, pero que $a^2 \in \Mathbb{Z}$ no es garantía de que $\frac{a^{2}}{7} \in \Mathbb{Z}$

#4 Nacho 2010-07-07 02:26

Perdón, tal vez me expresé de forma medio bruta. El razonamiento es este:

Llegamos a que $a^2 = (7k+1) 7$
Ahora, podemos ver que del lado derecho nos quedó un numero que es multiplo de 7, ya que hay un 7 multiplicando a otro numero (7k+1)
Entonces, a la izquierda, $a^2$ tambien tiene que ser multiplo de 7 para que se cumpla la igualdad.
Pero como $a$ esta elevado al cuadrado, la cantidad de veces que aparece 7 en la factorizacion de $a$ tiene que ser par (mismo razonamiento que usas para ver que raiz de 2 es irracional por ej). En conclusion, $a$ tiene que ser divisible por 7.
Entonces al pasar el 7 dividiendo, nos va a quedar $\frac{a^2}{7} = \frac{a}{7} a$ que TAMBIEN tiene que ser multiplo de 7.
Como sabemos que tanto $\frac{a}{7}a$ es multiplo de 7, tiene que estar igualados a algo que tambien sea divisible por 7. Pero del otro lado tenemos $7k+1$ que claramente no es divisible por 7.

Ahora, si este razonamiento te pierde, lo podes ver de esta otra forma:

4a^2+21\equiv0(7^2) \Rightarrow 4a^2+21\equiv0(7) \Longleftrightarrow 4a^2\equiv0(7) \Longleftrightarrow a^2\equiv0(7)

(La primer flecha vale solo para un lado) Entonces, podes hacer una tabla de restos modulo 49 pero solo de los $a$ que son congruentes a cero modulo 7. Es decir

r_{49}(a)=0 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

r_{49}(a)=7 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

r_{49}(a)=14 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

r_{49}(a)=21 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

r_{49}(a)=28 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

r_{49}(a)=35 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

r_{49}(a)=42 \Rightarrow r_{49}(a^2)=0

Entonces, para cualquier $a$ congruente a 0 modulo 7, $a^2$ tambien va a ser congruente a cero modulo 49
Ahora $4a^2+21\equiv0(7^2) \Longleftrightarrow 21\equiv0(7^2)$
Y ahi vez que no hay $a$ que cumpla lo pedido