Probar que la siguiente igualdad es verdadera para \(n \in \mathbb{N}\)
$$\prod_{i=1}^{n} \frac{n+i}{2i-3} = 2^{n} (1-2n)$$
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Tema
[Resuelto de manera complicada] P:2 - Ej. 6 vi)
a mi se me ocurrio una forma de hacerlo,pero no creo que sea la mas practica.
probemoslo por induccion:
$$p(1): \frac{2}{-1}=-2=2(1-2)$$
supongo que vale para K=n
quiero ver que \(P(k) \rightarrow P(k+1)\)
o sea quiero ver que \(\prod_{i=1}^{n+1} \frac{n+1 +i}{2i-3}= 2^{n+1}(1-2(n+1))\)
$$\frac{n+1 +n+1}{2(n+1)-3} \prod_{i=1}^{n} \frac{n+1 +i}{2i-3} \frac{n+i}{n+i}= \frac{n+1 +n+1}{2(n+1)-3} \prod_{i=1}^{n} \frac{n+i}{2i-3} \frac{n+1+i}{n+i}$$
pero\(\frac{n+1 +n+1}{2(n+1)-3} \prod_{i=1}^{n} \frac{n+i}{2i-3} \frac{n+1+i}{n+i}= \frac{n+1 +n+1}{2(n+1)-3} \prod_{i=1}^{n} \frac{n+i}{2i-3} \prod_{i=1}^{n} \frac{n+1+i}{n+i}=(por HI)\frac{n+1 +n+1}{2(n+1)-3} 2^{n}(1-2n) \prod_{i=1}^{n} \frac{n+1+i}{n+i}\)
luego quiero ver que\(\frac{n+1 +n+1}{2(n+1)-3} 2^{n}(1-2n) \prod_{i=1}^{n} \frac{n+1+i}{n+i}= 2^{n+1}(1-2(n+1))\)y vuelvo a usar induccion. Pero este es mas facil. ahora te dejo para que lo sigas 🙂
espero que te sirva
PD: no se visualiza lo que escribo con tex 🙁
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"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".
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¿Se puede distribuir la productoria con la suma?
Se me ocurre esto:
$$\prod_{i=1}^{n} \frac{n+1}{n} =\prod_{i=1}^{n} \left[ 1 + \frac{1}{n}\right] \neq \prod_{i=1}^{n} 1 + \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{n}$$
Digo porque yo intentando hacer este ejercicio en un momento lo hice y no me dio :p
Un saludo
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Erizo escribió:
¿Se puede distribuir la productoria con la suma?
Se me ocurre esto:$$\prod_{i=1}^{n} \frac{n+1}{n} =\prod_{i=1}^{n} \left[ 1 + \frac{1}{n}\right] \neq \prod_{i=1}^{n} 1 + \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{n}$$Digo porque yo intentando hacer este ejercicio en un momento lo hice y no me dio :p
Un saludo
NO, no se puede.
Pensalo para n=2
$$3=\prod_{i=1}^{2}%20\frac{n+1}{n}%20=\prod_{i=1}^{2}%201%20+%20\prod_{i=1}^{2}%20\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$
ABS!!!!!!!!
Me encanta decir absurdo.
Igual, esto tambien se puede pensar como que estas multiplicando n binomios, y las dos productorias lo unico que te estarian dando son los terminos "primero" y "ultimo" de tooodo el desarrollo que tendrias.
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