PEDIDO Finales

$$\textrm{ 1. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas}$$

$$Sea A $\subset \mathbb{R} , A \neq \emptyset$}$$

$$\textrm{ (a) Si $A$ es acotado superiormente entonces $sup A$ es el mayor punto de acumulacion de $A$}$$

$$\textrm{ (b) Si $A$ es acotado superiormente entonces $supA = sup\bar A$}$$

$$\textrm{ (c) Si $A$ es acotado superiormente entonces $supA = sup A^{\circ}$}$$

$$\textrm{ (d) Si $A$ es acotado, entonces $A$ tiene maximo y minimo si y solo si $A$ es cerrado}$$

$$\textrm{ 2. Sea $a_{n}$ una sucesion de numeros reales positivos. Demostrar:}$$

$$\textrm{ (a) Si $lim\, inf \: n\cdot a_{n} =l \neq 0$ entocnes $\sum a_{n}$ diverge}$$

$$\textrm{ (b) Si $lim \, sup \; n^2 \cdot a_{n} \in \mathbb{R}$ entocnes $\sum a_{n}$ converge}$$

$$\textrm{Sucede lo mismo si remplazamos lim inf por lim sup en (a)???}$$

$$\textrm{ 3. Sean $f_{n}, f : S \rightarrow \mathbb{R}$ tales q:}$$

$$\textrm{ i. $\vert f_{n}(x)\vert \neq M$ para todo $x \in S$ y para todo $n$,}$$

$$\textrm{ ii. $f_{n}$ converge uniformemente a $f$ en $S$}$$

$$\textrm{ Sea $g: [-M,M] \rightarrow \mathbb{R}$ continua. Probar q $g \circ f_{n}$ converge uniformemente a $g\circ f$ en $S$}$$

$$\textrm{ 4. Sea $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$. Sea $ c_{n} \subset [a,b]$ talque $c_{n}<c_{n+1}$ apra todo $n\in \mathbb{N}$. Supongamos que, para todo $n \in \mathbb{N},$ se verifica que $f(c_{n})=1/n$. Definir $\alpha :[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ creciente y acotada de manera que $f$ sea integrable Riemann-Stieltjes}$$

$$\int_{b}^{a}f d\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3^}$$