$$$Probar que si $b \neq a$ entonces existe un $n_0$ tal que $n \geq n_0 \Rightarrow x_n \neq b$$
Sea \(|b-a| = \varepsilon > 0\) por hipótesis. Por definición de límite, tiene que existir un \(n_0\) tal que \(n \geq n_0 \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon.\) Pero entonces \(x_n \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)\), que es un intervalo abierto que no contiene a \(b\). Por lo tanto \(x_n \neq b\), como queríamos.
gaston escribió:
\($2) Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que f es semicontinua inferiormente si $\)
$$\forall a \in \mathbb{R}$ y $\forall\varepsilon > 0 \ \ \exists\ \delta>0$ tal que, si $|x-a|<\delta$ se sigue que $ f(x) >f(a)-\varepsilon.$$
$$$Probar que f es semicontinua inferiormente si y solo si$$$
$$\forall \lambda \in \mathbb{R}$ el conjunto $A_{\lambda} := \{x \in \mathbb{R}/f(x)>\lambda\}$ es abierto.$$$
\(\Leftarrow\)) Elegimos arbitrariamente \(a\) y \(\varepsilon\) y consideramos \(\lambda = f(a) - \varepsilon\). Tenemos que \(a \in A_{\lambda}\), pues \(\varepsilon > 0\). Como además por hipótesis \(A_{\lambda}\) es abierto, existe \(\delta > 0\) tal que \((a-\delta, a+\delta) \subset A_{\lambda}\). Pero entonces tenemos que para todos \(a\) y \(\varepsilon\) existe un \(\delta\) tal que si \(|x-a|< \delta\) entonces \(f(x) > f(a) - \varepsilon\), como queríamos.
\(\Rightarrow\)) Supongamos que existe algún \(\lambda\) tal que \(A_{\lambda}\) no es abierto. Entonces existe \(x\) tal que \(f(x) > \lambda\) pero cualquiera sea \(\delta > 0\) hay un \(y\) en \((x-\delta, x+\delta)\) tal que \(f(y) \leq \lambda\). Por otra parte sabemos que cualquiera sea \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta > 0\) tal que \(y \in (x-\delta, x+\delta) \Rightarrow f(y) > f(x) - \varepsilon\). Pero como \(f(x) > \lambda\), podemos tomar el \(\varepsilon\) lo suficienemente chico para que \(f(x) - \varepsilon > \lambda\), y llegamos a una contradicción.
gaston escribió:
$$$3) Sean A,B $\subset \mathbb{R}$ abiertos, acotados y no vacios tales que $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$$
$$$Probar que $dist(A,B):=inf\{|a-b|: a \in A, b \in B \}>0$$
Es claro que el ínfimo en cuestión existe, ya que \(A\) y \(B\) son ambos acotados y no vacíos, luego el conjunto de los \(|a-b|\) también lo es. Además, como este conjunto tiene sólo números no negativos, se tiene que el ínfimo también es no negativo. Luego, para probar que es positivo como nos piden, basta suponer que es igual a 0 y llegar a una contradicción.
En efecto, si el ínfimo fuera 0, en particular tendría que ocurrir que para todo \(k \in \mathbb{N}\) existan \(a_k \in A\) y \(b_k \in B\) tales que \(|a_k - b_k| < \frac{1}{k}\).
La sucesión \(\{a_k\}\) es acotada, luego, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, contiene una subsucesión convergente \(\{a_{k_j}\}\). Sea \(a\) el límite de esta sucesión. Afirmo que la sucesión \(\{b_{k_j}\}\) también es convergente y tiende a \(a\). En efecto, \(|a - b_{k_j}| \leq |a - a_{k_j}| + |a_{k_j} - b_{k_j}|\) por desigualdad triangular, y ambos miembros en el lado derecho tienden a 0 cuando \(j\) tiende a infinito. Bueno pero entonces tenemos un punto \(a\) que es límite de una sucesión de puntos de \(A\) y también es límite de una sucesión de puntos de \(B\), por lo tanto pertenece a la clausura de ambos. Pero por hipótesis la intersección de sus clausuras era vacía, ABSURDO!