consulta acerca una demostracion

miren, estoy rehaciendo el primer ejercicio para entregar y estoy un poco trabado con una de las implicaciones...no quiero q me resuelvan el problema (jeje la idea del taller es justamente q aprenda a demostrar las cosas)sino q me den alguna pista

esto es lo q hay q probar

Toda sucesion acotada tiene una sucesion convergente \(\Rightarrow\) Las sucesiones monotonas crecientes y acotadas superiormente son convergentes.

Yo dije sea an monotona creciente y acotada superiormente. Como esta acotada superiormente \(\exists S \epsilon \mathbb{R} / an \leq S \forall n \epsilon \mathbb{N}\) y como es creciente \(a_1\) es cota inferior. Luego \(a_1 \leq a_n \leq S\). Luego, \(a_n\) esta acotada \(\Rightarrow \exists a_n_k\) convergente.

Lo q yo se ahora es q existe el limite de ank y q ese limite es un punto limite de an. Me imagino q lo quiero buscar es q ese punto limite debe ser el supremo para luego llegar a q an converge a este...el tema es q no se me ocurre como...

bueno, espero alguna idea

gracias

Jajajajajaja, cualquier cosa que se me ocurre decirte, ya la escribiste 😛.

Como ya sabés que ese límite que encontraste es EL límite, la única pista que se me ocurre es: como la subsucesión es creciente, el límite está por arriba de todo el mundo. Ahora tenés que usar que \(a_n\) es creciente, pero el límite igual va a estar por encima de todo el mundo... es un argumento de que si la subsucesión es creciente, eventualmente es más grande que cualquier elemento de la sucesión original. Vas por muy buen camino.

A mi se me ocurre que con lo que tenes podes probar que el limite de \(a_n\) es el limite de \(a_{n_k}\) por definicion (o como le dicen los amigos con \(\epsilon - \delta\))

graciasssssssss...