Sea \(f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Probar que para todo \(\varepsilon>0\) existe \(k\epsilon\mathbb{N}\) y puntos \(x_1,...,x_k\) en el \(\left[0,1\right]\) cumpliendo la siguiente propiedad: para todo \(x\epsilon\left[0,1\right]\), existe \(j\epsilon \{1,...,k\}\) tal que \(\left|x-x_j\right|<\varepsilon\) y \(\left|f(x)-f(x_j)\right|<\varepsilon\)
La verdad es que no sé muy bien por donde encararlo. Probé varias cosas pero no llego a nada.
Sé que f tiene máximo y mínimo. Sé que f es uniformemente continua porque sale de un compacto.
Si alguien tiene una idea de para donde arrancar o que tratar de buscar se agradece el tip.
Saludos!
Al final se me ocurrió algo, creo que está bien
Como \(f\) es uniformemente continua se tiene que para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta\) de manera que \(\left|x-y\right|<\delta\) implica \(\left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon\) para todo \(x\) e \(y\) del dominio. Entonces tomo el mínimo entre \(\varepsilon\) y \(\delta\) y lo llamo \(\rho\). La idea ahora buscar los \(x_n\) que cumplan con lo pedido. Armemos una partición \(\pi\) que haga que \(d(x,\pi)\leq\rho\) para cualquier \(x\) del dominio. Para eso puedo tomar \(\pi=\{x_i : x_0 = 0, x_n = x_n_-_1 + \rho\) para todo \(n\) entre \(1\) y \(k\)\(\}\) . Donde \(k\) es el único natural que cumple con \(1/\rho\leq k<1/\rho + 1\). Y ya está, ahora para cada \(x\) tomo \(x_i\) tal que \(d(x,x_i)=d(x,\pi)\). Y bueno bastaría ver que para cualquier \(x\) el \(x_i\) cumple con lo que necesitamos.
Espero que les sirva. Si no se entiende o está mal avisen.
Saludos