Sea \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de números reales. Probar que son equivalentes:
(a) \(\underline{lim} \ a_n^2 =0\)
(b) Existe una subsucesión \((a_{nk})_{k\in \mathbb{N}}\) tal que la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{nk}\) es convergente
Sean \(A,B\) subconjuntos de un mismo conjunto cerrado \(F\subseteq \mathbb{R}^n\) tales que \(\overline{A}=\overline{B}=F\) .
probar que si \(A\) y \(B\) son abiertos, entonces \(\overline{A\cap B} =F\) .
3.Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^n\) no vacío.
(a)Probar que si \(A\) no es cerrado, entonces existe una función continua \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \(f(A)\) no es acotado.
(b)Probar que si para toda función continua \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) se tiene que \(f(A)\) es compacto, entonces \(A\) es necesariamente compacto.
4.Se tiene una sucesión de funciones continuas \(f_n:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}\) y otra función \(g::\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}\) que también es continua. Supongamos que existe un conjunto \(A\subseteq \mathbb{R}^m\) que es denso en \(\mathbb{R}^m\)y tal que \(f_n\rightrightarrows g\) sobre \(A\) .
Probar que \(f_n\rightrightarrows g\)
5.Sea \(f:[a,b] \rightarrow\mathbb{R}\) una función tal que su imagen es un conjunto finito. Demostrar que \(f\) es de variación acotada si y sólo si el conjunto de discontinuidades de \(f\) es finito.
A mi me rompieron el orto con este, Si alguien puede aportar resoluciones le estaria mas que agradecido
2. Sea \(a\) en \(A\). Como \(a\in A \subset \bar A = F = \bar B\), hay una sucesión con valores \(B\) que converge a \(a\). Como \(A\) es un entorno de \(a\), esta sucesión está a partir de algún momento en \(A\) y, entonces, está a partir de algún momento en \(A\cap B\). Su límite \(a\) está entonces en \(\overline{A\cap B}\). Vemos así que \(A\) está contenido en \(\overline{A\cap B}\), y entonces \(F = \overline A \subseteq \overline{A\cap B}\). La inclusión de \(\overline{A\cap B}\) en \(F\) es inmediata.
1. Si la serie converge, su término general va a cero, así que el cuadrado de su término general va a cero. Esta sucesión de cuadrados es una subsucesión de \((a_n^2)\), así que \(\liminf a_n^2\leq 0\). Por otro lado, la sucesión de los cuadrados tiene términos positivos, así que obviamente \(0\leq\liminf a_n^2\). Esto prueba una dirección; veamos ahora la otra. Construyo inductivamente una sucesión estrictamente creciente \((n_k)\) de enteros positivos. Pongo \(n_1 = 1\). Supongo ahora que \(k\geq1\) y que ya construí \(n_k\). Como \(\liminf a_n^2=0\), existe \(m > n_k\) tal que \(|a_m^2|<1/k^4\), de manera que \(|a_m|<1/k^2\); pongo \(n_{k+1} = m\), y sigo la construcción. De esta forma obtuve una subsucesión \((a_{n_k})\) de la sucesión de partida tal que la serie \(\sum a_{n_k}\) está acotada, en módulo y término a término, por \(\sum 1/k^2\). Esto implica que aquella serie converge.
3a. Supongamos que \(A\) no es cerrado y sea \(x_0 \in \overline A-A\). La función \(f:x\in A\mapsto 1/d(x,x_0)\in\mathbb R\) es continua en \(A\) pero no es acotada. En efecto, si \((a_n)\) es una sucesión en \(A\) que converge a \(x_0\), entonces \(f(a_n) = 1/d(a_n,x_0) \to \infty\) si \(n\to\infty\).
3b. Si \(A\) es compacto, sabemos del teorema de Weierstrass que toda función real continua es acotada sobre \(A\), así que no hay nada que probar. Supongamos recíprocamente que \(A\) tiene esa propiedad. Por la parte (a) de este ejercicio, sabemos que \(A\) es cerrado. Por otro lado, la función \(f : x\in A\mapsto d(x,0)\in\mathbb R\) es continua en \(A\), así que por hipótesis es acotada: esto significa que el conjunto \(A\) es acotado. El teorema de Heine-Borel, entonces, nos permite concluir que \(A\) es compacto.
4. Sea \(\epsilon>0\). Como \(f_n\rightrightarrows g\) en \(A\), existe \(n_0\) tal que\(|f_n(a)-f_m(a)|<\epsilon\) para todo \(a\in A\) y \(n, m\geq n_0\), es decir, las funciones \(|f_n-f_m|\), con \(n, m\geq n_0\), que son continuas en todo \(\mathbb R^k\), están acotadas sobre \(A\) por \(\epsilon\). Como \(A\) es denso, esto implica que, de hecho, esas funciones están acotadas por \(\epsilon\) en todo \(\mathbb R^k\). Vemos así que la sucesión \((f_n)\) es uniformemente de Cauchy en todo \(\mathbb R^k\). En particular, existe una función continua \(h:\mathbb R^k\to\mathbb R\) tal que \(f_n\rightrightarrows h\) en \(\mathbb R^k\). Es claro que \(h\) y \(g\) tienen la misma restricción a \(A\), que es denso en su dominio: esto implica que \(h = g\) y prueba lo que queríamos.
5. Supongamos primero que \(f\) tiene un número finito de puntos de discontinuidad, y sea \(\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\) un conjunto que contiene esos puntos de discontinuidad y tal que con \(a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\). Entonces la función es constante en cada uno de los intervalos de la forma \((x_i,x_{i+1})\) con \(i\in\{0,\dots,n-1\}\) y \(V_a^b(f) = \sum_{i=0}^{n-1}V_{x_i}^{x_{i+1}}(f)\) y, como \(V_{x_i}^{x_{i+1}}(f)=\bigg|f(x_i)-f(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})\bigg|+\bigg|f(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})-f(x_{i_1})\bigg|\), es claro que \(V_a^b(f)\) es finita.
Recíprocamente, supongamos que \(f\) tiene infinitos puntos de discontinuidad. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \(f\) tiene, de hecho, infinitos puntos de discontinuidad a izquierda interiores al intervalo \([a,b]\) (si no, haríamos todo lo que sigue con puntos de discontinuidad a derecha y nada cambiaría) Sea \(n\) un número natural, y \(\delta\) el mínimo de los valores absoluto de las diferencias de los (finitos!) valores que toma \(f\), que es un número positivo. Como \(f\) tiene infinitos puntos de discontinuidad a izquierda interiores al intervalo \([a,b]\), sabemos que existen puntos \(x_1, x_2, \dots, x_n\) de discontinuidad a izquierda de \(f\) y tales que \(a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b\). Como son puntos de discontinuidad a izquierda, para cada \(i\in\{1,\dots,n\}\) existe \(y_i\in(x_{i-1},x_i)\) tal que \(f(y_i)\neq f(x_i)\). Tenemos una partición \(\{a,y_1,x_1,y_2,x_2,\dots,y_n,x_n,b\}\) del intervalo \([a,b]\) y es \(V_a^b(f) \geq \sum_{i=1}^n|f(y_i)-f(x_i)|\geq n\delta\). Esto muestra que la variación de \(f\) en \([a,b]\) no es acotada.