[RESUELTO ??] parcial 13/10/00 ej1

Dice Sea A en R acotado sup no vacío y que no admite máximo. Demostrar que existe una sucesi{on estrictamente creciente contenida en A tal que \(lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)=sup(A)\)

Sea \(s=sup(A)\) entonces ocurre que (por definición)
i) \(s\geq a \forall a\in A\)
ii)\(\forall\epsilon >0, \exists a_{\epsilon}\in A\) tal que \(s-\epsilon<a_\epsilon\)

construiremos una sucesión que verifique lo pedido

1. Dado \(\epsilon_1>0\) Elijo \(a_1\inA\) talq ue \(s-\epsilon_1<a_1\)
2. Tomo \(e_2=\frac{s-a_1}{2}>0\) (es positivo pues s es el supremo de A) Luego \(\exists a_2\in A\) tal que \(s-\epsilon_2<a_2\) Haciendo cuentas se ve que

Adem}ás: \(a_\leq s\Rightarrow2a_1\leq s+a_1\Rightarrow a_1\leq\frac{s+a_1}{2}\) con lo cual \(a_1<a_2\) Asi armamos una sucesión siguiendo las mismas instrucciones que es decreciente y con elementos de A (no hice el paso n-ésimo pero es igual...)

Falta ver ahora que \(lim(a_n)=s\)

Entonces, dado \(\epsilon_1>0\) que ya elegí antes. Para cada n natural tenemos:

PAra cada n se tiene \(s-\epsilon_n<a_n\Rightarrow s-a_n<\epsilon_n\)
Voy a analizar la sucesión \((\epsilon_n)\)
el primer término es dado.

\(\epsilon_3=\frac{s-a_2}{2}<\frac{s-a_1}{4}\) pues \(a_2>\frac{s+a_1}{2}\Rightarrow \frac{s-a_2}{2}<\frac{s-\frac{s+a_1}{2}}{2}=\frac{s-a_1}{4}\) Análogamente \(\epsilon_n<\frac{s-a_1}{2^n}\rightarrow 0(n\rightarrow\infty)\)

Y como \((\epsilon_n)\) es una sucesión de terminos positivos no hay más que \((\epsilon_n)\rightarrow 0\) o sea que para el \(\epsilon_1\) elegido al principio, es posible hallar \(n_0\in\mathbb{n}\) de modo tal que si \(n\geq n_0\) entonces \(\epsilon_n<\epsilon_1\)
Pero para cada n se tiene \(s-a_n<\epsilon_n<\epsilon_1\)
luego \(lim(a_n)=s\) como queríamos ver

perodón que lo postié en dos partes pero no se que le pasa a la compu que cuando pongo un post largo se me corta...:S

quiero opiniones, está bien?