Tengo una duda con un ejercicio. El enunciado lo saqué del Apostol, pero en la práctica está enunciado de una manera parecida.
Sean \(A, B\) dos conjuntos de números positivos acotados superiormente, y sea \(a = sup (A), b = sup (B)\).
Sea \(C\) el conjunto de todos los productos de la forma \(\alpha \beta\) con \(\alpha\in{A}\) y \(\beta\in{B}\).
Probar que \(ab = sup (C)\)
Lo que me hace dudar es que el conjunto \(C\) no tiene porqué estar acotado superiormente. No pretendo una resolución, sino que me digan que me estoy pasando por alto.
Lo que pienso yo es que dado \(ab\), yo me puedo armar otro elemento de \(C\) mayor que ese producto. Basta que elija un número muy cercano a cero. No se donde estoy pifiando 😕
Claaro, el error está en que multiplicar por un número muy chico no es lo mismo que dividir por uno muy chico, sino todo lo contrario, es dividir por uno muy grande... es increible que uno no pueda ver algo tan boludo hasta que lo trata de escribir ^^
Intenté resolverlo, medio agarrado de los pelos, pero ahí va.
Primero quiero probar que \(ab\) es cota superior de \(C\). Supongo que no lo es, entonces \(ab<\alpha \beta\) para algún \(\alpha\in{A}\) y algún \(\beta\in{B}\). Ahora, \(ab<\alpha \beta\leq a \beta\), pues \(a = Sup(A)\). Entonces \(ab\leq a \beta\) implica \(b\leq\beta. Abs!\), pues \(b = Sup(B)\)
Ahora quiero ver que es la menor de las cotas superiores.
Sea \(xy\) cota superior de \(C\). Quiero ver que \(ab\leq xy\). Sea \(\varepsilon = a + b\) (se que es positivo pues \(A\) y \(B\) son conjuntos positivos). \(\exists{\alpha \in{A}}\) tal que \(a - \varepsilon < \alpha\) pues \(a = Sup(A)\) y \(\exists{\beta \in{B}}\) tal que \(b - \varepsilon < \beta\) pues \(b = Sup(B)\)
Entonces \((a - \varepsilon) (b - \varepsilon) \leq \alpha(b - \varepsilon) \leq \alpha \beta \leq xy\). Entonces \(ab - \varepsilon (a + b) + \varepsilon^2 = ab - \varepsilon^2 + \varepsilon^2 \leq xy\) lo que implica \(ab\leq xy\)