probar que
$$limsup (a_n + b_n) \leq limsup \, a_n + limsup \, b_n$$
Intenté mil formas, pero no veo como usar la cota...
Muchas gracias desde ya
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[RESUELTO] lims a_n+b_n <= lims a_n +lims b_n
Ya lo resolví... Estuve todo el día pensando en esto y al final salía teniendo presente todos los conceptos.
\($primero que nada, quiero ver que:\)
$$sup\{a_n + b_n\} \leq sup\{a_n\} + sup\{b_n\}$$
$$$Sea $B =sup\{b_n\}\; ; A = sup\{a_n\}$$
$$b_n \leq B$$
$$a_n \leq A$$
$$a_n + b_n \leq A + B \; \forall n\in \mathbb{N}\star$$
$$$Voy a tomar supremo de $a_n + b_n$$
$$$Por definici\'on de supremo, $\forall \varepsilon >0, \exists \{a+b\}_j tq$$
$$sup\{a_n + b_n\} - \varepsilon < \{a+b\}_j$$
$$$Usando \star$$
$$sup\{a_n + b_n\} - \varepsilon < \{a+b\}_j \leq A + B$$
$$$Luego, como vale para todo $\varepsilon,$$
$$sup\{a_n + b_n\} - \varepsilon < A + B \Rightarrow$$
$$sup\{a_n + b_n\} \leq A + B$$
$$$Ahora, como tomar supremo es una funci\'on mon\'otona decreciente, tomarle \'infimo es igual a tomarle l\'imite.$$
$$$Sea $\{\alpha\}_k := sup{a_n+b_n : n\geq k}$$
$$\lim_{k \to \infty} \alpha_k =limsup (a_n+b_n) < limsup$ a_n $+ limsup$ b_n$$
\($Por \'algebra de l\'imites distribuyo el l\'imite y se convierte en $limsup$ a_n $+ limsup$ b_n\)