El ejercicio 8 de la Práctica de limites de osci. dice exactamente así: 8. Si \({a}_{n}\rightarrowa\) y \(a>0\)
\(\longrightarrow limsup({a}_{n}{b}_{n})=a*limsup({b}_{n})\).
Si además \({b}_{n}\) mayor o igual a 0
Hay que probar esas cosas. No me salió la 2da parte de este ej., probar que
Si \({b}_{n}\) mayor o igual a 0
$$\longrightarrow limsup{{b}_{n}}^{{a}_{n}}= a limsup{b}_{n}$$
Se me ocurrio usar la propiedad del lim sup siguiente:
$$limsup({a}_{n})=L\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists k \in \mathbb{N})(\forall n>k)$$
$$\longrightarrow {a}_{n}<L+\epsilon$$
$$(\forall \epsilon>0)(\forall k \in \mathbb{N})(\exists n>k)$$
$$\longrightarrow {a}_{n}>L-\epsilon$$
con eso probe la primer igualdad, pero no supe usarlo para lo segundo, por ahi no es esa la movida o por ahi no vi algo, no se pero la cuestion es q no salió. Al q conteste muchas gracias
¿Quisiste decir \(limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq={(limsup {b}_{n})}^{a},\; limsup {a}_{n}\eq=a\)? En ese caso:
Llamemos \(limsup {b}_{n}\eq=b,\,limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq=d\). Queremos ver \(d\eq={b}^{a}\). Para ello, probamos las dos desigualdades(estoy suponiendo \(a,b<+\infty\). Fijate que si \(b\eq=+\infty\) la desigualdad se verifica trivialmente, dado que \({b}^{a}\eq=+\infty\) pues \(a>0\). Lo mismo con \(a\)):
$$d\leq {b}^{a}$$
$$d\geq {b}^{a}$$
Sabés que \({b}_{n}<b+\epsilon\) para \(n\geq N\). Luego, tenés que \({b}_{n}\leq b\) para \(n\geq N\). De manera análoga, tenés que \({a}_{n}<a+\epsilon\) para \(n\geq N'\)(\(N,N'\) son naturales para los que valen tales desigualdades, que existen por propiedad del límite superior, la propiedad que dijiste, la primera). Luego,
\({b}_{n}\leq b,\, {a}_{n}\leq a\implies {{b}_{n}}^{{a}_{n}}\leq {b}^{a}\) para \(n\geq \max \{N,N'\}\) (1)
(estás usando que \({b}_{n}\geq 0\) porque sino no tendría necesariamente sentido lo escrito y \({a}_{n},a>0\) porque en otro caso podrías estar inviertiendo, dándose se vuelta la desigualdad, o estar haciendo \({0}^{0}\). Y más razones, pero espero que se entienda que vale ese paso por esas hipótesis)
Por (1), tenés inmediatamente \(limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq=d\leq {b}^{a}\).
Para la otra desigualdad, apenas vas a tener que ensuciarte más. En efecto, probaste que vale \(d\leq {b}^{a}\). Considerá:
\({{b}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}\cdot {a}_{n}}\eq={({{b}_{n}}^{{a}_{n}})}^{\frac{1}{{a}_{n}}}\eq={b}_{n}\)(esto vale porque \({a}_{n}>0\)). Si tomás \({c}_{n}\eq={{b}_{n}}^{{a}_{n}}\), tenés la sucesión \({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}}\) que está en las hipótesis del problema. Por (1), tenés:
\(limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}})\leq {c}^{\frac{1}{a}}\), donde \(limsup (\frac{1}{{a}_{n}})\eq=\frac{1}{a}\)(es el primero de los ejercicios que pusiste del que se deduce esto)
Pero \({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}}\eq={b}_{n}\) como dijimos antes, y \(c\eq=limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq=d\). Luego:
Y esta es la desigualdad que faltaba, teniéndose \(limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq={b}^{a}\), como queríamos ver.
Espero que se haya entendido. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
si, era eso lo que quería poner. Gracias por la respuesta loco, me sirvio mucho tambien para darme cuenta que le tengo que dar mas bola a las desigualdades para mostrar que son iguales dos cosas, es clave.
Edit:
Hay una sola cosa que no me queda clara, lo sabía pero no se bien por q es, y es la siguiente:
Vos decís que si
Entiendo que como es \(\forall \epsilon > 0\), entonces podes tomar límite de \(\epsilon\) tendiendo a 0, pero no veo por que ese paso te cambia la desigualdad estricta en un menor igual. De nuevo gracias.
y \(\limsup_{n\rightarrow\infty} {b}_{n}=b\)
y \(\limsup_{n\rightarrow\infty} {{c}_{n}}=c\)
y \(\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{1}{a}\)
por lo tanto \(\limsup_{n\rightarrow\infty} {{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}}= {c}^{\frac{1}{a}}\)
$$\implies b\leq {c}^{\frac{1}{a}}$$
¿No debería ser \(b={c}^{\frac{1}{a}}\)?
si es así igual ya lo tenés por que \(\implies c={b}^{\frac{1}{a}}\), que es lo que queríamos probar.
Sabés que si tomás límite \({a}_{n}<{b}_{n}\) te cambia a \(a\leq b\).
En este caso, para cada \({\epsilon}_{k}\eq=\frac{1}{k}\) existe \({N}_{k}\) tal que \({a}_{{N}_{k}}<a+\frac{1}{k}\). En particular, podés elegir los \({N}_{1}<{N}_{2}<\cdots <{N}_{k}<{N}_{k+1}\cdots\). Luego, tenés una subsucesión \({a}_{{N}_{k}}\) que verifica \({a}_{{N}_{k}}<a+\frac{1}{k}\). Tomando límite superior, te queda:
$$limsup ({a}_{{N}_{k}})\leq a$$
En particular, pueden elegirse esos \({N}_{k}\) de manera tal que la subsucesión que te quede tenga límite y sea el límite superior de \({a}_{n}\)(recordá que el límite superior verifica que existe una subsucesión que converge a tal valor) De acá sacás tal desigualdad
Si no se termina de entender, avisá
No vale eso, porque justamente querés probar que \(limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}})\eq={c}^{\frac{1}{a}}\). Lo que sabés es que \(limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}})\leq {c}^{\frac{1}{a}}\).