bueno aca les dejo el primer parcial que tomaron en mate 4 el segundo cuatrimestre del 2010
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
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Tema
[A resolver] 1º Parcial 2º Cuatrimestre 2010
dejo la solucion del 4) que es el único interesante...
\(|f '(z)| {\in \mathbb{R}}_{\geq 0} \Rightarrow $ para que pase $ |f '(z)| < |f (z)| , \forall z \in \mathbb{C} \Rightarrow f(z) \neq 0 , \forall z \in \mathbb{C} $ pues seria absurdo que pase $ |f '(z)| < 0 $ para algun $ z $. tampoco puede pasar que $ f $ se anule en un punto y $ f' $ no este definida alli porque al ser $ f $ entera $ f ' $ esta definida en todo $ \mathbb{C} $. luego puedo definir $ h(z) = \frac{f'(z)}{f(z)} , \forall z \in \mathbb{C} \Rightarrow $ como $ f $ es entera, se desarrolla en serie de potencias, $ f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} {a}_{n} z^n $ con radio de convergencia infinito $ \Rightarrow $ como vale derivar termino a termino en la serie de potencias de una funcion holomorfa, se tiene $ f '(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} {a}_{n} n z^{n-1} $ tambien con $ R=+\infty \Rightarrow f ''(z) = \sum_{n=2}^{+\infty} {a}_{n} n (n-1) z^{n-2} $ tambien con $ R=+\infty \Rightarrow f'(z) $ es entera.\)
$$\Rightarrow h(z) $ es entera por ser cociente de funciones enteras donde el denominador no se anula nunca. ademas $ |h(z)|<1 \Rightarrow h $ es entera y acotada, entonces por el teorema de liouville $ h $ es constante. luego $ h(z) = c \in \mathbb{C}, $ con $ |c| < 1. $ entonces si $ c = 0 \Rightarrow h(z) = 0 , \forall z \in \mathbb{C} \Rightarrow f'(z) = 0 , \forall z \in \mathbb{C} \Rightarrow f(z)= Cte \neq 0 , \forall z \in \mathbb{C} , (Cte \in \mathbb{C})$$
$$$ Si $ c \neq 0 \Rightarrow f'(z) $ tampoco se anula nunca, luego busco $ f $ tal que $ f' = c f. $ se sabe que si $ \log (z) $ es una rama del logaritmo entonces $ (\log(z))' = \frac{1}{z} \Rightarrow \left(\log(f(z))\left)' = \frac{f'(z)}{f(z)} $ y ademas $ \left(cz+d\left)'= c \Rightarrow$$
\(\log(f(z)) = cz+d \Rightarrow f(z) = e^{cz+d} = e^{cz} e^d $ , llamando $ a= e^d $ se tiene que $ f(z) = a {e}^{cz} .$ Como $ f $ no se anula nunca, dado $ {z}_{o} \in \mathbb{C} $ puedo definir $ \log(f(z)) $ alguna rama del logaritmo en un entorno de $ {z}_{o} $ y ahi vale $ \log(f(z)) \equiv cz + d $ y entonces por el principio de identidad la unica $ f $ que cumple las condiciones buscadas es $ f(z) = a {e}^{cz} , \forall z \in \mathbb{C}\)