2do parcial 2do cuatri 2010

Ejercicio 1
Sea M la sup inducida por la parametrización \((\mathbb{R}^2,\phi )\) donde \(\phi (u,v)=((1+e^{.u})cosu,(1+e^{-u})senu,v)\) y sea N el cilindro de radio R. Consideramos \(f:M\rightarrow N/f(p)=(Rcosu,Rsenu,v^2+v-u)\) con \(p=\phi (u,v)\)
a) Siendo \((U,x)\) la carta de M inducida por la param \((\mathbb{R}^2,\phi )\) y \((V,y)\) la carta de N tal que \(y(V)=(-\pi,\pi)\times\mathbb{R}\) y \(y^{-1}(\theta,s)=(Rcos\theta ,Rsen\theta ,s)\). si \(p=(2,0,0)\) y \(v=2D_{x_1}|_p+3D_{x_2}|_p\) escribir \(f_{*p}(v)\) en la base \(\{D_{y_1}|_{f(p)},D_{y_2}|_{f(p)}\}\)
b) ¿es f conforme?
Ejercicio 2
Sea M una sup y (U,x) una carta tal que los coef de la 1ra forma fund son : \(g_{ij}ox^{-1}(u_1,u_2)=(u_i^2+1)\delta _{ij}\). Sea \(f:M\rightarrow\mathbb{R}\) diferenciable tal que \(\frac{dfox^{-1}}{d_{x_1}}|_{(u_1,u_2)}=u_2\) y \(\frac{dfox^{-1}}{d_{x_2}}|_{(u_1,u_2)}=u_1\)
a) Si \(p=x^{-1}(1,2)\) encontrar \(v\in M_p\) tal que \(v(f)=0\) y \(||v||=\sqrt{3}\)
b) Calcular las coordenadas locales del campo gradiente de f con respecto a (U,x) (recordar que \(<grad f|_q,v>=v(f)\)
Ejercicio 3
Sea \(M_\lambda\) una sup parametrizada por \(f(u_1,u_2)=(2u_1.\lambda u_1^2+u_2-1,\frac{1}{2}u_2^2-2\lambda)\) con \((u_1,u_2)\in\mathbb{R}^2\)
a)Calcular curvaturas gaussiana y media de \(M_\lambda\)
b) Decidir, segun \(\lambda\) si el punto \((0,1,2-2\lambda)\) es elíptico parabólico hiperbólico o plnar.

Ejercicio 4
Sea M una sup conexa tal que todos sus puntos son umbílicos. Probar que está incluida en una esfera o en un plano.
Ejercicio 5
Sea \(F:M\rightarrow N\) una isom local y c una geodésica de M. Probar que foc es una geodésica de N