Ejercicio 1
a) Probar que si las cuádricas Q y Q' son de distinto tipo (i.e. sin centro, con centro y sin puntos singulares, con puntos sing) entonces no existe un isoafin tal que \(f(Q)=(Q')\)
b) Sean \(Q:a^2x_1^2+2x_1x_3+x^2_2+bx_3^2+4x_1-2x_2-4x_3-1=0\)
\(Q':2x_1^2+3x_3^2-2x_2-5=0\) Encontrar los a y b tales que exista uno isoafin f demodo que \(f(Q)=(Q')\)
Ejercicio 2
Sea \(c:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3\) una curva par por long de arco, con curvatura \(K>0\) y torsión \(t\) constantes. Denotamos con \(\{e_1(t),e_2(t),e_3(t)\}\) su triedro de Fernet. Sea ahra la curva \(\alpha (t)=\int_0^te_2(s)ds+e_1(t)\). Calcular el triedro de fernet de dicha curva, su curvatura y su torsión.
Ejercicio 3
Sea c una curva en \(\mathbb{R}^3\) par por long de arco con curvatura \(K(t)\neq 0\)verificando: \(c''(t)=L(t)(c(t)-p)\) para todo t, donde L es una función escalar y p un punto de R^3
a) Probar que c es una curva plana
b) Probar que c está incluida en una circunferencia, hallar el radio de la misma y L en términos de la curvatura de c.
Ejercicio 4
Sean \(c_1,c_2\) curvas del plano par por long de arco tales que \(c_1(0)=c_2(0),c'_1(0)=c_2'(0)\). Si además \(0<k_1(0)<k_2(0)\) probar que en un entorno de 0 \(c_1\) envuelve a \(c_2\)
Ejercicio 5
Probar que \(\{x^2+y^2=5,x>0,y>0,|z|<3\}\) es una dup regular de R^3. VErificar que \((A,f)\) con \(A=(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6})\times (-1,1)\) y \(f(r,t)=(\sqrt{5}cos(3r),\sqrt{5}sen(3r),-t)\) es una parametrización.
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