(a) Hallar una fórmula de cuadratura del tipo:
$$\int_{-1}^{1} f(x)dx = Af(-2)+Bf(0)+Cf(2)$$
Un polinomio \(f(x)\) que pasa por \((-2,f(-2)),(0,(f(0)),(2,f(2))\) tiene la pinta (resolviendo el sistema)
$$P(X)=f(0)+\frac{X}{4}(f(2)-f(-2)) +\frac{X^2}{8}(f(2)+f(-2)-2f(0))$$
Integrando:
\(Q(f)=2f(0)+\frac{1}{12}(f(2)+f(-2)-2f(0))\)
(b) Para\(f \in C^3[-2,2]\) probar que el error cometido no es mayor a \(\frac{7}{12}\Vert f^(3) \Vert _\infty\)
Hay una formula en el apunte que dice que si
* Q es lineal
* tiene grado de exactitud k
* vale que \(Q(f) \leq M (b-a)\Vert f\Vert_\infty\)
* \(f\in C^{k+1}\)
Entonces vale la fórmula:
$$\frac{(1+M)(b-a)^k+2}{(k+1)!}\Vert f^{k+1}\Vert_\infty$$
Además, si Q(f) tiene grado de exactitud al menos 0 se y los coeficientes de Q son constantes positivas se puede tomar M=1
La cosa es que "paso por la fórmula" y no me da lo que tiene que darme...
me da:
$$\frac{(2)(2)^{2+2}}{(2+1)!}\Vert f^{2+1}\Vert_\infty$$
Lease:\(\frac{(2)^5}{3!}\Vert f^{3}\Vert_\infty\)
Que no da lo que debería dar... Evidentemente me está faltando algo teórico que no se que es :S
Alguien me ayuda 😳
Firma
