Dada
$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \ 0 & a_{22} & 0 \ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$
se descompone en \(A=M-N\) donde:M=
$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & 0 \ 0 & a_{22} & 0 \ 0 & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$
N=
$$\begin{pmatrix}0 & 0 & -a_{13} \ 0 & 0 & 0 \ -a_{31} & 0 & 0}\end{pmatrix}$$
a)determinar un método iterativo para resolver \(Ax=b\) y probar que si converge, lo hace al a solución de tal sistema
b)Demostrar que si a es estrictamente diagonal dominante, entonces el método es convergente cualquiera sea el \(x_0\) inicial
Bueno dudas...
Para la parte a sólo hice esto....
Al descomponer y llevar al problema de punto fijo equivalente al sistema dado obtenemos:
\(x_n=M^{-1}Nx_{n-1}+M^{-1}b\) poniendo que M es inversible (para lo cual todos los \(a_ii\neq 0\)
Pero como por hipotesis converge a la solución set iene \(x_n\longrightarrow x\) con x solución de \(Ax=b\), luego, ucando \(n\longrightarrow\infty\) tengo:
\(x=M^{-1}Nx+M^{-1}b\) y de aquí se deduce que x es solución de \(Ax=b\)